浙江 2018 · 数学 q07

题面

7. 设 $0 < p < 1$，随机变量 $\xi$ 的分布列是

则当 $p$ 在（0，1）内增大时， A. $D(\xi)$ 减小 B. $D(\xi)$ 增大C. $D(\xi)$ 先减小后增大 D. $D(\xi)$ 先增大后减小

则当 p 在 $(0, 1)$ 内增大时，（）

A. D (ξ) 减小 B. D (ξ) 增大 C. D (ξ) 先减小后增大 D. D (ξ) 先增大后减小

解析

分析

求出随机变量 $\xi$ 的分布列与方差，再讨论 D（ $\xi$ ）的单调情况.

解答

解：设 $0 < p < 1$，随机变量 $\xi$ 的分布列是

E ( $\xi$ ) =0× $\frac{1-p}{2}$ +1× $\frac{1}{2}$ +2× $\frac{p}{2}$ =p+ $\frac{1}{2}$ ;

方差是 D(\xi) = (0 - p - \frac{1}{2})^2 \times \frac{1 - p}{2} + (1 - p - \frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} + (2 - p - \frac{1}{2})^2 \times \frac{p}{2}$$= -p^2 + p + \frac{1}{4}$$= -(p - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2},$$\therefore p \in (0, \frac{1}{2}) 时，$D(\xi)$ 单调递增；
$p \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时，$D(\xi)$ 单调递减；
$\therefore D(\xi)$ 先增大后减小.
故选：$D$.