浙江 2018 · 数学 q07

冷启动：这张表里什么在动

题面给的是一张带参数的分布列：

取值是死的（$0$、$1$、$2$），动的是两端的概率：$p$ 变大，左边 $\dfrac{1-p}{2}$ 变小、右边 $\dfrac{p}{2}$ 变大，中间永远是 $\dfrac12$。三个概率加起来 $(1-p+1+p)/2=1$，是一张合法分布列。问的是 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时 $D(\xi)$ 怎么变。

四个选项是四种趋势，所以要的不是一个数，而是把 $D(\xi)$ 看成 $p$ 的函数，看它在 $(0,1)$ 上的形状。

先用「散」猜一把。 $p\to 0^{+}$ 时质量几乎全在 $0$ 与 $1$ 上（两个相邻取值），比较挤；$p\to 1^{-}$ 时几乎全在 $1$ 与 $2$ 上，同样挤；$p=\dfrac12$ 时 $0$、$1$、$2$ 都有质量，铺得最开。于是猜：两头小、中间大，也就是先增大后减小。下面两条路把这个猜想坐实。

解法一：把 $D(\xi)$ 算成 $p$ 的二次函数，配方读顶点

怎么想到的。 趋势题的标准动作：把要考察的量写成参数的表达式。方差按定义或简算式写出来一定是 $p$ 的二次式，二次函数的趋势由顶点一句话定完。

① 先验：这是分布列。 $0<p<1$ 时三个概率都在 $(0,1)$ 内，且和为 $1$。

② 先算期望。

$$E(\xi)=0\cdot\frac{1-p}{2}+1\cdot\frac12+2\cdot\frac{p}{2}=p+\frac12.$$

③ 按定义算方差。 三个偏差是

$$0-\Bigl(p+\frac12\Bigr)=-p-\frac12,\qquad 1-\Bigl(p+\frac12\Bigr)=\frac12-p,\qquad 2-\Bigl(p+\frac12\Bigr)=\frac32-p.$$

于是

$$D(\xi) =\Bigl(p+\frac12\Bigr)^{2}\frac{1-p}{2} +\Bigl(\frac12-p\Bigr)^{2}\frac12 +\Bigl(\frac32-p\Bigr)^{2}\frac{p}{2}.$$

展开（或用简算式 $D=E(\xi^{2})-[E(\xi)]^{2}$，其中 $E(\xi^{2})=0+1\cdot\dfrac12+4\cdot\dfrac{p}{2}=\dfrac12+2p$）得到

$$D(\xi)=-p^{2}+p+\frac14=-\Bigl(p-\frac12\Bigr)^{2}+\frac12.$$

④ 配方读顶点。 二次项系数 $-1<0$，开口向下；对称轴 $p=\dfrac12$，落在区间 $(0,1)$ 内部。所以 $p$ 从 $0$ 走到 $1$ 时，$D(\xi)$ 在 $\bigl(0,\dfrac12\bigr)$ 上递增、在 $\bigl(\dfrac12,1\bigr)$ 上递减，即先增大后减小。选 D。

⑤ 端点极限。 $D\bigl(\dfrac12\bigr)=\dfrac12$ 是取得到的最大值；$p\to0^{+}$ 与 $p\to1^{-}$ 时 $D\to\dfrac14$，两头一样高，取不到。

解法二：不算表达式：对称性砍掉两个选项，再比一次大小

怎么想到的。 四个选项里 A、B 说的是整段单调。单调最怕对称：若 $D$ 在 $p$ 与 $1-p$ 处一样高，它就不可能一直增或一直减。

① 把 $p$ 换成 $1-p$，分布只是被左右对调。 新的三个概率是

$$\frac{p}{2},\quad \frac12,\quad \frac{1-p}{2},$$

也就是原来 $0$ 与 $2$ 的概率对调。这等于看 $2-\xi$：取值 $0\leftrightarrow 2$、$1$ 不动。方差对反射不变，$D(2-\xi)=D(\xi)$，所以

$$D\big|_{1-p}=D\big|_{p}.$$

关于直线 $p=\dfrac12$ 对称。

② 对称杀掉 A 与 B。 若整段递增，则 $p=0.1$ 处必小于 $p=0.9$ 处；但 ① 说这两处相等。同理排除整段递减。剩下只能是「先增后减」或「先减后增」，转折点只能在 $p=\dfrac12$。

③ 比一次大小。

• $p=\dfrac12$：$P=(1/4,1/2,1/4)$，$E=1$，$D=\dfrac14\cdot1+\dfrac12\cdot0+\dfrac14\cdot1=\dfrac12$。
• $p\to0^{+}$：趋于「$0$ 与 $1$ 各占一半」，$E=\dfrac12$，$D\to\dfrac14$。

$\dfrac12>\dfrac14$，中间高、两头低，所以是先增大后减小。选 D。