离散型随机变量的方差

教材原文

$\begin{array}{r l} D (X) & = (x _ {1} - E (X)) ^ {2} p _ {1} + (x _ {2} - E (X)) ^ {2} p _ {2} + \dots + (x _ {n} - E (X)) ^ {2} p _ {n} \\ & = \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - E (X)) ^ {2} p _ {i} \end{array}$

为随机变量 X 的方差(variance)，有时也记为 $Var(X)$ ，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为随机变量 X 的标准差(standard deviation)，记为 $\sigma(X)$ .

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。

定义

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$（$i=1,2,\dots,n$），记 $E(X)$ 为它的均值，则

叫做 $X$ 的方差，$\sqrt{D(X)}$ 叫做标准差。

要点

• 它量的是「散」：$D(X)$ 越小，取值越挤在均值附近；越大，取值越铺开。方差为 $0$ 当且仅当 $X$ 是常数。

• 简算式（课本紧接着推的那条）：

  $$D(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}p_i-\left(E(X)\right)^{2}=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}.$$

  减去的是均值的平方，不是均值本身——这一处最容易写漏平方。

• 平移不改、伸缩按平方改：$D(X+b)=D(X)$、$D(aX)=a^{2}D(X)$，合起来 $D(aX+b)=a^{2}D(X)$。 于是方差对整体平移与反射都不变：$X$ 与 $1-X$（$a=-1$、$b=1$）的方差相同。

• 单位与量纲：$D(X)$ 的单位是 $X$ 单位的平方，要与 $X$ 同量纲比较请用标准差 $\sqrt{D(X)}$。