方差简算式漏掉期望的平方

简算式只有一个形状：

写成 $E\left(X^{2}\right)-E(X)$ 是最高频的手误——它连量纲都不对：$E\left(X^{2}\right)$ 与 $\left[E(X)\right]^{2}$ 同是「$X$ 单位的平方」，而 $E(X)$ 只有一次幂，两个不同量纲的东西不能相减。

三条自查

1. 量纲：括号里外都得是平方。看到「平方减一次」就知道漏了。
2. 非负：由柯西（或方差的定义）恒有 $E\left(X^{2}\right)\ge\left[E(X)\right]^{2}$，所以简算式的结果必然 $\ge 0$。 算出负数 $\Rightarrow$ 一定错了；而 $E\left(X^{2}\right)-E(X)$ 完全可以是负的（例如 $X$ 只取 $0$、$1$ 时它等于 $-p(1-p)\le0$）。
3. 常数检验：让 $X\equiv c$（常数），则 $E\left(X^{2}\right)=c^{2}$、$E(X)=c$，正确式给 $D=c^{2}-c^{2}=0$ ✓； 错式给 $c^{2}-c$，只在 $c=0,1$ 时凑巧为 $0$——拿 $c=2$ 一试就现原形。

一个真实的例子

2019 年浙江卷第 7 题的官方【详解】方法 2 就把它印成了

但紧接着减去的却是 $\dfrac{(a+1)^{2}}{9}=\left[E(X)\right]^{2}$——式子写漏了平方号，计算却是按正确公式做的。 读到这种地方别跟着抄公式：以后面的计算为准，同时知道正确的形状长什么样。