浙江 2019 · 数学 q07

题面

7. 设 $0 < a < 1$，则随机变量 $X$ 的分布列是:

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时（）
A. $D(X)$ 增大 B. $D(X)$ 减小
C. $D(X)$ 先增大后减小 D. $D(X)$ 先减小后增大

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时（）
A. $D(X)$ 增大 B. $D(X)$ 减小
C. $D(X)$ 先增大后减小 D. $D(X)$ 先减小后增大

答案

D

解析

分析

研究方差随 $a$ 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 $a$ 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 $a$ 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

方法1：由分布列得 $E(X)=\frac{1+a}{3}$ ，则

$D(X) = \left(\frac{1 + a}{3} - 0\right)^2 \times \frac{1}{3} + \left(\frac{1 + a}{3} - a\right)^2 \times \frac{1}{3} + \left(\frac{1 + a}{3} - 1\right)^2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$, 则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时, $D(X)$ 先减小后增大. 方法2: 则 $D(X) = E\left(X^2\right) - E(X) = 0 + \frac{a^2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{(a + 1)^2}{9} = \frac{2a^2 - 2a + 2}{9} = \frac{2}{9} \left[\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right]$ 故选D.

【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.