浙江 2019 · 数学 q07

冷启动：这张分布列里到底什么在动

题面给的是一张带参数的分布列：

三个概率是死的（各 $\dfrac13$，加起来正好 $1$），动的是中间那个取值 $a\in(0,1)$——它在 $0$ 与 $1$ 之间滑。 问的是：$a$ 变大时 $D(X)$ 怎么变。

先别急着算，先想清楚题问的是「趋势」不是「数值」。 四个选项是四种趋势（增、减、先增后减、先减后增）， 所以要做的是把 $D(X)$ 看成 $a$ 的函数，然后看这条函数在 $(0,1)$ 上的形状。

用直觉猜一把。 方差量的是「散」。$a$ 滑到 $0$ 附近时，三个取值是 $0,0^{+},1$——两个点几乎重在一起， 质量压到 $0$ 与 $1$ 两端，很散；$a$ 滑到 $1$ 附近时同理（两个点挤在 $1$）；而 $a=\dfrac12$ 时三个点 $0,\dfrac12,1$ 等距铺开，看着最「匀」。于是猜：两头大、中间小，也就是先减小后增大。 下面两条路都是把这个猜想坐实。

顺手记一处原卷的笔误：【详解】方法 2 把简算式印成了 $D(X)=E\left(X^{2}\right)-E(X)$， 正确的是 $D(X)=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}$——少了一个平方号。它后面减去的确实是 $\dfrac{(a+1)^{2}}{9}=\left[E(X)\right]^{2}$，所以只是写漏、算没错。

解法一：把 $D(X)$ 算成 $a$ 的二次函数，配方读顶点

怎么想到的。 趋势题的标准动作：把要考察的量写成参数的表达式。方差的定义式与简算式都能用， 写出来一定是 $a$ 的二次式（定义式里每一项都是「一次式的平方」），而二次函数的趋势由顶点一句话定完。

① 先算期望。

$$E(X)=0\times\frac13+a\times\frac13+1\times\frac13=\frac{1+a}{3}.$$

② 按定义算方差。 记 $m=E(X)=\dfrac{1+a}{3}$，三个偏差分别是

$$0-m=-\frac{1+a}{3},\qquad a-m=\frac{2a-1}{3},\qquad 1-m=\frac{2-a}{3},$$

于是

$$D(X)=\frac13\left[\frac{(1+a)^{2}}{9}+\frac{(2a-1)^{2}}{9}+\frac{(2-a)^{2}}{9}\right] =\frac{(1+a)^{2}+(2a-1)^{2}+(2-a)^{2}}{27}.$$

分子展开：$(1+2a+a^{2})+(4a^{2}-4a+1)+(4-4a+a^{2})=6a^{2}-6a+6$，所以

$$D(X)=\frac{6a^{2}-6a+6}{27}=\frac{2}{9}\left(a^{2}-a+1\right).$$

③ 配方读顶点。

$$D(X)=\frac{2}{9}\left[\left(a-\frac12\right)^{2}+\frac34\right]=\frac{2}{9}\left(a-\frac12\right)^{2}+\frac16 .$$

二次项系数 $\dfrac29>0$——开口向上；对称轴 $a=\dfrac12$，而 $\dfrac12$ 落在区间 $(0,1)$ 的内部。 于是 $a$ 从 $0$ 走到 $1$ 时，$D(X)$ 在 $\left(0,\dfrac12\right)$ 上递减、在 $\left(\dfrac12,1\right)$ 上递增， 即先减小后增大，选 D。

④ 用简算式核一遍（也就是官方的方法 2）。

$$E\left(X^{2}\right)=0^{2}\times\frac13+a^{2}\times\frac13+1^{2}\times\frac13=\frac{a^{2}+1}{3},$$ $$D(X)=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}=\frac{a^{2}+1}{3}-\frac{(1+a)^{2}}{9} =\frac{3a^{2}+3-\left(a^{2}+2a+1\right)}{9}=\frac{2a^{2}-2a+2}{9},$$

与 ② 逐字相同。两条算法给出的是同一条二次曲线，表达式没算错。

⑤ 顺手记住极值与端点。 $D\left(\dfrac12\right)=\dfrac16\approx0.167$ 是取得到的最小值； 两个端点是开的，$a\to0^{+}$ 与 $a\to1^{-}$ 时 $D(X)\to\dfrac29\approx0.222$ ——两头一样高， 取不到。这一条在解法二里就是主角。

解法二：不算表达式：对称性砍掉两个选项，再比一次大小

怎么想到的。 四个选项里有两个（增、减）说的是「整段单调」。而单调这件事最怕对称： 如果 $D$ 在 $a$ 与 $1-a$ 处一样高，那它在对称的区间上就不可能一直增或一直减。而这张分布列 恰好有这种对称性——不必算出方差就能看出来。

① 把 $a$ 换成 $1-a$，分布只是被翻了个面。 $a$ 取 $1-a$ 时，三个取值成为

$$\{0,\ 1-a,\ 1\}=\{1-1,\ 1-a,\ 1-0\},$$

概率仍是各 $\dfrac13$。也就是说：新的随机变量就是 $1-X$（把每个取值 $x$ 换成 $1-x$，概率不动）。 而方差对平移与反射都不变（$D(aX+b)=a^{2}D(X)$，这里 $a=-1$、$b=1$，$a^{2}=1$）：

$$D(1-X)=D(X)\quad\Longrightarrow\quad D\big|_{1-a}=D\big|_{a}.$$

记 $t=a-\dfrac12$，上式就是「$D$ 是 $t$ 的偶函数」——图象关于直线 $a=\dfrac12$ 对称。

② 对称直接杀掉 A 与 B。 若 $D$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，则 $a=0.1$ 处的值必小于 $a=0.9$ 处的值； 但 ① 说这两处相等。矛盾。同理排除「单调递减」。所以 A、B 都不可能， 剩下的只能是「先增后减」或「先减后增」，而且转折点只能在对称轴 $a=\dfrac12$ 上。

③ 剩下两个选项，比一次大小就够。 只需知道中间那点比两边低还是高。取两个好算的位置：

• $a=\dfrac12$：三个取值 $0,\dfrac12,1$，期望 $\dfrac12$， $D=\dfrac13\left[\left(\dfrac12\right)^{2}+0+\left(\dfrac12\right)^{2}\right]=\dfrac13\times\dfrac12=\dfrac16$；
• $a\to0^{+}$：分布趋于「$0$ 占 $\dfrac23$、$1$ 占 $\dfrac13$」，期望 $\dfrac13$， $D\to\dfrac23\times\left(\dfrac13\right)^{2}+\dfrac13\times\left(\dfrac23\right)^{2} =\dfrac{2}{27}+\dfrac{4}{27}=\dfrac{6}{27}=\dfrac29$。

$\dfrac16<\dfrac29$（即 $\dfrac{3}{18}<\dfrac{4}{18}$），中间低、两边高，所以是先减小后增大，选 D。

④ 这条路为什么可靠。 它只用了两件事：对称性（结构，不依赖计算）与一次数值比较。 即使把两个 $\dfrac13$ 换成别的相等概率、或把 $0$ 与 $1$ 换成任意两个固定端点，对称性都还在—— 换句话说，「两头一样高」是这张分布列的结构性质，不是这组数字的巧合。

两条路差在哪。 解法一是硬算：把 $D(X)$ 完整算出来再配方，代价是三项平方要展开对， 好处是顶点、最小值、端点极限全都到手，问什么都答得上。解法二不算表达式：先用一条结构性质 （$a\leftrightarrow1-a$ 只是把分布翻个面）把两个选项一次砍掉，再拿两个最好算的位置比一次大小。 考场上第二条更快，且不怕展开算错；但它只给趋势，问「最小值是多少」时还得回到解法一。

一句话记法：方差量的是「散」。两个点挤在一起、质量压到两端时最散；三点等距铺开时最匀。 本题的 $a$ 从 $0$ 滑到 $1$，正好走了一趟「散 → 匀 → 散」。

🕳️ 避坑

选项	站不站得住	为什么
A $D(X)$ 增大	把方差看成了期望	$E(X)=\dfrac{1+a}{3}$ 才是一直增大的；问的是 $D(X)$，它是二次的
B $D(X)$ 减小	与对称性矛盾	$D\big
C 先增大后减小	开口方向记反了	二次项系数是 $+\dfrac29>0$，开口向上，顶点是最低点而不是最高点
D 先减小后增大	正确	顶点 $a=\dfrac12$ 在 $(0,1)$ 内部，且开口向上

• 简算式减的是均值的平方。 $D(X)=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}$；写成 $E\left(X^{2}\right)-E(X)$ 连量纲都不对（平方减一次），而且可能算出负数。 本题原卷【详解】方法 2 正是漏印了这个平方号——以它后面的计算为准。
• 配完方一定要把顶点与区间比一次。 「开口向上」只说明有最低点，不说明它在区间里： 同一条二次曲线，若题目问的是 $a\in\left(\dfrac12,1\right)$，答案就变成「一直增大」（选 A）。 顶点在区间内部才有「先减后增」。
• $a$ 是取值，不是概率。 别看见 $0<a<1$ 就把它当概率去写 $1-a$：这张表的概率是固定的三个 $\dfrac13$，$a$ 只影响中间那个点的位置。
• 端点开闭别越界。 $(0,1)$ 是开区间，$\dfrac29$ 只是 $a\to0^{+}$、$a\to1^{-}$ 的极限， $D(X)$ 取不到它——所以本题没有最大值，只有最小值 $\dfrac16$。问「最大值是多少」是个陷阱问法。
• 别用「$a$ 变大，某个取值变大，所以更散」这种推理。 中间那个点变大时，它先是离均值更近、 后又更远；方差是三项一起决定的，只能算或用对称性，不能只盯一项。

两条路殊途同归：硬算得到 $D(X)=\dfrac29\left(a-\dfrac12\right)^{2}+\dfrac16$， 对称性 + 一次比较得到「中间低两边高」。故选 D。