浙江 2013 · 数学 q19

题面

19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分

（1）当$\mathrm{a}{=} 3 , \mathrm{b}{=} 2 , \mathrm{c}{=} 1$时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；

（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若$E \Pi = \frac{5}{3} , D \Pi = \frac{5}{9} ,$求 a：b：c

（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；

（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若$E \Pi = \frac{5}{3} , D \Pi = \frac{5}{9} ,$求$\mathrm{a} \colon b \colon \mathrm{c .}$

解析

分析

（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；

（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论

解答

解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，

$\begin{array}{l} \mathrm{P} (\xi = 2) = \frac{3 \times 3}{6 \times 6} = \frac{1}{4}; \mathrm{P} (\xi = 3) = \frac{2 \times 3 \times 2}{6 \times 6} = \frac{1}{3}; \mathrm{P} (\xi = 4) = \frac{2 \times 3 \times 1 + 2 \times 2}{6 \times 6} = \frac{5}{1 8}; \\ \mathrm{P} (\xi = 5) = \frac{2 \times 2 \times 1}{6 \times 6} = \frac{1}{9}; \mathrm{P} (\xi = 6) = \frac{1 \times 1}{6 \times 6} = \frac{1}{3 6}. \end{array}$

故所求ξ的分布列为

（2）由题意知η的分布列为

$\mathrm{En} = \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c}} + \frac{2 \mathrm{b}}{\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c}} + \frac{3 \mathrm{c}}{\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c}} = \frac{5}{3}$

$\mathrm{D} \eta = (1 - \frac{5}{3})^{2} \frac{a}{a + b + c} + (2 - \frac{5}{3})^{2} \frac{b}{a + b + c} + (3 - \frac{5}{3})^{2} \frac{c}{a + b + c} = \frac{5}{9}.$

得$\left\{\begin{array}{l l}{2 {a} - {b} - 4 {c}{=}{0}} \\ {{a}{+} 4 {b} - 1 1 {c}{=}{0}} \end{array} \right. ,$

解得$a = 3 c , \ b = 2 c$

故$\mathrm{a}{\ : \ : \ :} \mathrm{b}{\ : \ : \ :}{\ : \mathrm{c}}{=} 3 {\ : \ : \ :} 2 {:} 1$