浙江 2014 · 数学 q12

冷启动：先数自由度

$\xi$ 只取 $0,1,2$，所以未知数就三个：$p_0,p_1,p_2$。题目给了两条约束，另加一条永远成立的：

$$p_0+p_1+p_2=1,\qquad p_0=\frac15,\qquad E(\xi)=0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot p_2=1 .$$

三个未知数、三个方程，分布列被唯一定住——这类填空题问的都是这种恰好定住的情形。 剩下的只是「用哪条式子收口最省事」。

顺手把两条求方差的式子摆出来，下面三条路各挑一条用：

$$D(\xi)=\sum_i\bigl(x_i-E(\xi)\bigr)^2p_i \qquad\text{或}\qquad D(\xi)=E\bigl(\xi^2\bigr)-\bigl[E(\xi)\bigr]^2 .$$

本题 $E(\xi)=1$ 是整数，而且正好落在三个取值的正中间——这两件事各自会在下面省掉一步。

解法一：把分布列补齐，解出中间那个概率，再按定义逐项加

设 $P(\xi=1)=p$。第三个概率不要再设字母，直接由概率和写出来：

$$P(\xi=2)=1-\frac15-p=\frac45-p .$$

代进期望：

$$E(\xi)=0\times\frac15+1\times p+2\times\left(\frac45-p\right)=\frac85-p=1 \ \Longrightarrow\ p=\frac35 .$$

于是分布列是

三个数都在 $[0,1]$ 里、加起来是 $1$，回头这一验别省。按定义收口：

$$D(\xi)=(0-1)^2\times\frac15+(1-1)^2\times\frac35+(2-1)^2\times\frac15 =\frac15+0+\frac15=\boxed{\dfrac25}$$

$E(\xi)=1$ 是整数，这一步才这么轻：三个偏差是 $-1,0,1$，平方后是 $1,0,1$，全程没有分数相乘。 期望要是 $\frac{7}{5}$，定义式就得算三个分数的平方，那时该换下一条路。

原卷这一行印的是「$E(\xi)=(0-1)^2\times\frac15+\cdots=\frac25$」，符号写错了： 算的是 $\sum(x_i-E\xi)^2p_i$，那是方差 $D(\xi)$；$E(\xi)$ 在题面里已经给定为 $1$。 校订层照原样保留、只记一笔，因为那是原卷的笔误、不是转写的错。

解法二：改用简算式，$E(\xi^2)$ 由 $E[\xi(\xi-1)]$ 一步得到

简算式是

$$D(\xi)=E\bigl(\xi^2\bigr)-\bigl[E(\xi)\bigr]^2=E\bigl(\xi^2\bigr)-1 .$$

减的是期望的平方，不是期望——这是这条路唯一的雷。

$E(\xi^2)$ 不必先解出 $p_1$。看一眼 $\xi(\xi-1)$ 在三个取值上分别是 $0,0,2$：

$$E\bigl[\xi(\xi-1)\bigr]=2P(\xi=2), \qquad\text{而}\qquad E\bigl(\xi^2\bigr)=E\bigl[\xi(\xi-1)\bigr]+E(\xi)=2P(\xi=2)+1 .$$

代回简算式，中间那个概率整条路都没出现过：

$$D(\xi)=2P(\xi=2).$$

再把 $P(\xi=2)$ 挖出来。由 $p_1+p_2=1-\frac15=\frac45$ 与 $p_1+2p_2=E(\xi)=1$ 两式相减：

$$P(\xi=2)=1-\frac45=\frac15 \ \Longrightarrow\ D(\xi)=2\times\frac15=\frac25 .$$

$E[\xi(\xi-1)]$ 这个量叫二阶阶乘矩，遇到取值是连续整数的分布（尤其二项分布、超几何分布）时， 它比直接算 $E(\xi^2)$ 好算得多——$x(x-1)$ 正好把 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 前面的两个因子约掉。这里只是它最小的一次演出。

解法三：把中心挪到零，偏差平方变成一个示性量

方差本来就是 $D(\xi)=E\bigl[(\xi-E\xi)^2\bigr]$。令

$$\eta=\xi-E(\xi)=\xi-1,$$

则 $\eta$ 只取 $-1,0,1$，且 $D(\xi)=D(\eta)=E(\eta^2)$（方差平移不变）。

关键一步：$\eta^2$ 只取 $0$ 与 $1$，它是一个示性量——「$\xi$ 有没有偏离均值」这件事的 $0\text{-}1$ 记号。 而示性量的期望就是那件事的概率：

$$D(\xi)=E(\eta^2)=P(\eta\neq0)=P(\xi\neq1)=P(\xi=0)+P(\xi=2).$$

中间那个概率彻底出局了。最后只差 $P(\xi=2)$，而它由 $E(\eta)=0$ 一句话给出：

$$E(\eta)=(-1)\cdot P(\xi=0)+0+1\cdot P(\xi=2)=0 \ \Longrightarrow\ P(\xi=2)=P(\xi=0)=\frac15 ,$$ $$D(\xi)=\frac15+\frac15=\frac25 .$$

两行，一个方程都没解。

为什么 $E(\xi)=1$ 就逼出了两端等概

上面最后那一步值得单拎出来。把分布列想成一根挂着三个砝码的杆：砝码挂在 $0,1,2$ 三个刻度上， 重量分别是 $p_0,p_1,p_2$，期望就是这根杆的平衡点。

平衡点落在 $1$，而 $1$ 正好是三个刻度的正中间——中间那个砝码挂在支点上，力矩为零， 于是左右两端必须一样重：$p_0=p_2$。这与 $p_1$ 是多少毫无关系。

由此还能顺手带走一条小结论：取值为 $0,1,2$ 且 $E(\xi)=1$ 时，

$$D(\xi)=2P(\xi=0),$$

而 $P(\xi=0)$ 可以从 $0$ 一直取到 $\frac12$，所以 $D(\xi)\in[0,1]$： $P(\xi=0)=0$ 时 $\xi$ 恒等于 $1$（方差为零），$P(\xi=0)=\frac12$ 时 $\xi$ 只在 $0$ 与 $2$ 之间跳（方差最大）。 本题的 $\frac15$ 落在中段，$D=\frac25$。

三条路怎么选

考场上解法一最稳，十几秒就能收口。解法三值得记住的不是这道题，而是那个看法： 方差只关心「离均值多远」，与取值本身的大小无关——所以平移中心永远是合法的第一步。

一句话带走

期望落在正中间，两端就必须等概；偏差平方只取 $0$ 和 $1$ 时，方差就是「偏离均值」的概率—— $D(\xi)=P(\xi\neq1)=\frac15+\frac15=\frac25$。