已知期望求方差

题型说明

• 常见问法：随机变量 $X$ 的取值为 $x_1,\dots,x_n$，给出其中一两个概率与 $E(X)$，问 $D(X)$（或标准差）。
• 主线：
  1. 先数自由度。$n$ 个取值就有 $n$ 个概率，「概率和为 $1$」先扣掉一个，题目每多给一个条件再扣一个。 取值只有三个时，给了一个概率加一个期望，分布列就唯一确定——这类题问的都是这种恰好定住的情形。
  2. 把剩下的概率设成一个字母，按 $\sum p_i=1$ 写出最后一个（别再设第二个字母）， 代进 $E(X)=\sum x_ip_i$ 解出来。
  3. 求方差有两条路：定义式 $D=\sum(x_i-E X)^2p_i$，或简算式 $D=E(X^2)-\left[E(X)\right]^2$。 取值少、且 $E(X)$ 是整数时定义式更快；取值多或 $E(X)$ 是分数时简算式更省。
• 一条省事的观察：$D(X)=E\bigl[(X-EX)^2\bigr]$ 只看「取值离均值多远」。 若各取值到均值的距离只有 $0$ 与 $1$ 两种（比如取值 $0,1,2$ 而 $E(X)=1$）， 那么 $(X-EX)^2$ 就是一个只取 $0$、$1$ 的示性量，方差等于「离均值不为零」的那部分概率之和， 连中间那个概率都不必算出来。

常见陷阱

• 设了两个字母却只列一个方程，最后解不动。第三个概率永远由前两个决定。
• 简算式里减的是 $\left[E(X)\right]^2$ 而不是 $E(X)$。
• 定义式里的中心必须是 $E(X)$，不是某个取值、也不是取值的平均数。
• 解出的概率没回头验：每个都要落在 $[0,1]$ 里，且三个加起来是 $1$。