7.3 离散型随机变量的数字特征

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7.3 离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律。但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性。因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征。

7.3.1 离散型随机变量的均值

问题 1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表 7.3-1 所示.

如何比较他们射箭水平的高低呢？

类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.

假设甲射箭 $n$ 次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 $\frac{n_1}{n}$，$\frac{n_2}{n}$，$\frac{n_3}{n}$，$\frac{n_4}{n}$。甲 $n$ 次射箭射中的平均环数为

$\overline {{x}} = 7 \times \frac {n _ {1}}{n} + 8 \times \frac {n _ {2}}{n} + 9 \times \frac {n _ {3}}{n} + 1 0 \times \frac {n _ {4}}{n}.$

当 $n$ 足够大时，频率稳定于概率，所以 $\overline{x}$ 稳定于

$7 \times 0. 1 + 8 \times 0. 2 + 9 \times 0. 3 + 1 0 \times 0. 4 = 9.$

即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为 9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.

同理，乙射中环数的平均值为

$7 \times 0. 1 5 + 8 \times 0. 2 5 + 9 \times 0. 4 + 1 0 \times 0. 2 = 8. 6 5.$

从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.

一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如表 7.3-2 所示，

则称

$\begin{array}{c} E (X) = x _ {1} p _ {1} + x _ {2} p _ {2} + \dots + x _ {n} p _ {n} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} p _ {i} \end{array}$

为随机变量 X 的均值(mean) 或数学期望 (mathematical expectation)，数学期望简称期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平。

例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分 $X$ 的均值是多少？

分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时 $X = 1$ ，不中时 $X = 0$ ，因此随机变量 $X$ 服从两点分布． $X$ 的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．

解：因为

$P (X = 1) = 0. 8, P (X = 0) = 0. 2,$

所以

$E (X) = 0 \times 0. 2 + 1 \times 0. 8 = 0. 8.$

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么

$E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p.$

例 2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X 的均值.

分析：先求出 X 的分布列，再根据定义计算 X 的均值.

解：X 的分布列为

$P (X = k) = \frac {1}{6}, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.$

因此，

$E (X) = \frac {1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3. 5.$

观察

掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数 $X$ 的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图7.3-1（1）和（2）所示．观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？

观察图 7.3-1 可以发现：在这 12 组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数 X 的均值 3.5 附近波动，且重复掷 300 次的样本均值波动幅度明显小于重复 60 次的.

事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动。随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小。因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值。

探究

如果 $X$ 是一个离散型随机变量，$X$ 加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即 $E(X + b)$ 和 $E(aX)$（其中 $a, b$ 为常数）分别与 $E(X)$ 有怎样的关系？

设 $X$ 的分布列为

$P (X = x _ {i}) = p _ {i}, i = 1, 2, \dots , n.$

根据随机变量均值的定义，

$\begin{array}{r l} E (X + b) & = (x _ {1} + b) p _ {1} + (x _ {2} + b) p _ {2} + \dots + (x _ {n} + b) p _ {n} \\ & = (x _ {1} p _ {1} + x _ {2} p _ {2} + \dots + x _ {n} p _ {n}) + b (p _ {1} + p _ {2} + \dots + p _ {n}) \\ & = E (X) + b. \end{array}$

类似地，可以证明

$E (a X) = a E (X).$

你能给出证明吗？

一般地，下面的结论成立：

$E (a X + b) = a E (X) + b.$

例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目, 猜对每首歌曲的歌名相互独立, 猜对三首歌曲 A, B, C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表 7.3-3 所示.

规则如下：按照 A，B，C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首。求嘉宾获得的公益基金总额 X 的分布列及均值。

分析：根据规则，公益基金总额 $X$ 的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金。因此 $X$ 是一个离散型随机变量。利用独立条件下的乘法公式可求分布列。

解：分别用 A, B, C 表示猜对歌曲 A, B, C 歌名的事件，则 A, B, C 相互独立.

$\begin{array}{l} P (X = 0) = P (A) = 0. 2, \\ P (X = 1 0 0 0) = P (A \overline {{B}}) = 0. 8 \times 0. 4 = 0. 3 2, \\ P (X = 3 0 0 0) = P (A B \overline {{C}}) = 0. 8 \times 0. 6 \times 0. 6 = 0. 2 8 8, \\ P (X = 6 0 0 0) = P (A B C) = 0. 8 \times 0. 6 \times 0. 4 = 0. 1 9 2. \end{array}$

X 的分布列如表 7.3-4 所示.

$X$ 的均值为

$\begin{array}{r l} E (X) & = 0 \times 0. 2 + 1 0 0 0 \times 0. 3 2 + 3 0 0 0 \times 0. 2 8 8 + 6 0 0 0 \times 0. 1 9 2 \\ & = 2 3 3 6. \end{array}$

如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？

例 4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇到小洪水时要损失 10 000 元。为保护设备，有以下 3 种方案：

方案 1 运走设备，搬运费为 3 800 元；

方案 2 建保护围墙，建设费为 2 000 元，但围墙只能防小洪水；

方案 3 不采取措施.

工地的领导该如何决策呢？

分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好。根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示。

$P (X _ {1} = 3 8 0 0) = 1.$

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为 $2000 + 60000 = 62000$ 元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此，

$P (X _ {2} = 6 2 0 0 0) = 0. 0 1, P (X _ {2} = 2 0 0 0) = 0. 9 9.$

采用方案 3，

$P (X _ {3} = 6 0 0 0 0) = 0. 0 1, P (X _ {3} = 1 0 0 0 0) = 0. 2 5, P (X _ {3} = 0) = 0. 7 4.$

于是，

$E (X _ {2}) = 6 2 0 0 0 \times 0. 0 1 + 2 0 0 0 \times 0. 9 9 = 2 6 0 0,$

$E (X _ {3}) = 6 0 0 0 0 \times 0. 0 1 + 1 0 0 0 0 \times 0. 2 5 + 0 \times 0. 7 4 = 3 1 0 0.$

因此，从期望损失最小的角度，应采取方案 2.

值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的。一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。

练习

(1) 求 $E(X)$ ;