公式

期望的线性性质

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，对不独立也成立。

教材原文

设 XX 的分布列为

P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.P (X = x _ {i}) = p _ {i}, i = 1, 2, \dots , n.

根据随机变量均值的定义，

E(X+b)=(x1+b)p1+(x2+b)p2+⋯+(xn+b)pn=(x1p1+x2p2+⋯+xnpn)+b(p1+p2+⋯+pn)=E(X)+b.\begin{array}{r l} E (X + b) & = (x _ {1} + b) p _ {1} + (x _ {2} + b) p _ {2} + \dots + (x _ {n} + b) p _ {n} \\ & = (x _ {1} p _ {1} + x _ {2} p _ {2} + \dots + x _ {n} p _ {n}) + b (p _ {1} + p _ {2} + \dots + p _ {n}) \\ & = E (X) + b. \end{array}

类似地，可以证明

E(aX)=aE(X).E (a X) = a E (X).

一般地，下面的结论成立：

E(aX+b)=aE(X)+b.E (a X + b) = a E (X) + b.

公式

E(X+Y)=E(X)+E(Y),E ⁣(∑iXi)=∑iE(Xi).E(X+Y)=E(X)+E(Y),\qquad E\!\left(\sum_i X_i\right)=\sum_i E(X_i).

用法

  • 无需 XiX_i 相互独立即成立。
  • 把「计数」型随机变量拆成若干 0-10\text{-}1 指示变量之和，各自期望是「该事件发生的概率」，相加即得。
教材出处人教A版 · 选择性必修第三册 · 第7章 · 7.3-离散型随机变量的数字特征 · page-0069教材出处人教A版 · 选择性必修第三册 · 第7章 · 7.3-离散型随机变量的数字特征 · page-0070

学它之前先会

共 1 条前置、最深 1 层。源文件只声明直接前置，长链由前置边构建期递归派生（ADR-0016）。

以下内容以本条为前置

学会本条之后能往哪走——由前置边反向派生，无手写清单（ADR-0002）。

套路指示变量拆分

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条——由攻略的正向声明反向派生，无手写清单（ADR-0002/0016）。