期望的线性性质

教材原文

设 $X$ 的分布列为

$P (X = x _ {i}) = p _ {i}, i = 1, 2, \dots , n.$

根据随机变量均值的定义，

$\begin{array}{r l} E (X + b) & = (x _ {1} + b) p _ {1} + (x _ {2} + b) p _ {2} + \dots + (x _ {n} + b) p _ {n} \\ & = (x _ {1} p _ {1} + x _ {2} p _ {2} + \dots + x _ {n} p _ {n}) + b (p _ {1} + p _ {2} + \dots + p _ {n}) \\ & = E (X) + b. \end{array}$

类似地，可以证明

$E (a X) = a E (X).$

一般地，下面的结论成立：

$E (a X + b) = a E (X) + b.$

公式

用法

• 无需 $X_i$ 相互独立即成立。
• 把「计数」型随机变量拆成若干 $0\text{-}1$ 指示变量之和，各自期望是「该事件发生的概率」，相加即得。