数学公式

共 51 个公式， 按标题拼音序排列。

• 并集的元素个数对任意两个有限集合，$\operatorname{card}(A\cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A\cap B)$——相加会把公共部分数两次，减一次补回来。
• 补集的元素个数当 $A \subseteq U$ 时，$|\complement_U A| = |U| - |A|$。
• 常见函数的导数$(e^x)'=e^x$，$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(\cos x)'=-\sin x$ 等。
• 等比数列的前 n 项和$S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)$；$S_{2n}=S_n(1+q^n)$ 分段。
• 等比中项$a$、$G$、$b$ 成等比 $\Leftrightarrow G^2 = ab$（且三项都非零）；把「成等比数列」翻成一个方程。
• 等差数列的前n项和$S_n = n(a_1+a_n)/2 = na_1 + n(n-1)d/2$；首末配对，或用首项与公差。
• 等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$；$\{b_n\}$ 等差 $\Leftrightarrow b_{n+1}-b_n$ 为常数。
• 点到直线的距离公式点 $(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 的距离 $|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$。
• 对数的运算性质$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$；$\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N$；$\log_a M^n=n\cdot\log_a M$。
• 对数换底公式$\log_a b = \log_c b / \log_c a$（$a>0$ 且 $a\neq1$；$b>0$；$c>0$ 且 $c\neq1$）——任何底都能换成同一个底。
• 多面体的表面积多面体的表面积就是围成它的各个面的面积之和——没有独立公式，逐面相加即可。
• 二倍角公式$\cos 2A=1-2\sin^2A$，把倍角化为单角平方。
• 二项式定理$(a+b)^n = \sum C_n^k a^{n-k}b^k$；通项 $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k}b^k$ 是展开式的第 $k+1$ 项。
• 辅助角公式$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)$，其中 $\cos \varphi = a/\sqrt{a^2+b^2}$、$\sin \varphi = b/\sqrt{a^2+b^2}$；于是它的值域是 $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$。
• 复数的乘法$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$——像多项式相乘，把 $i^2$ 换成 $-1$。
• 复数的加减运算$(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$——实部与实部、虚部与虚部各自相加减；几何上就是向量的加减。
• 基本不等式$a, b > 0$ 时 $\sqrt{ab} \leq (a+b)/2$，当且仅当 $a = b$ 取等；根源是 $a^2+b^2 \geq 2ab$。
• 卡方统计量$\chi^2=n(ad-bc)^2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]$。
• 柯西不等式$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2$，等号当且仅当对应分量成比例。
• 链式法则复合函数求导：$[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$；$(\cos kx)'=-k \sin kx$。
• 两角和与差的余弦公式$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$——和角展开中间是减、差角展开中间是加。
• 两角和与差的正切公式$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$——分子跟左边的符号走，分母的符号与它相反。
• 两角和与差的正弦$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$；把一个复合角拆成两个已知角。
• 两角和与差的正弦公式$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$——和角展开中间是加、差角展开中间是减，正好与余弦公式相反。
• 排列数公式从 $n$ 个不同元素里取出 $m$ 个排成一列的排法数 $A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$；取到谁、排在第几都算数。
• 平面向量的数量积$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$：两个向量乘出来是一个数；反解一次就是夹角公式 $\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$。
• 期望的尾概率求和取值为正整数的 $X$：$E(X)=P(X\geq1)+P(X\geq2)+\cdots$，不必列分布列。
• 期望的线性性质$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，对不独立也成立。
• 球的体积$V$球 $= (4/3)\pi R^3$（$R$ 为球半径）；半球取它的一半。
• 全概率公式$P(B)=\sum P(A_i)P(B|A_i)$：按一组完备互斥事件把复杂事件拆开求概率。
• 三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab \sin C$，两边与夹角正弦之积的一半。
• 三斜求积公式秦九韶由三角形三边直接求面积：$S = \sqrt{\frac{1}{4}[c^2a^2 - ((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}$，与海伦公式等价。
• 双曲线的 a、b、c 关系双曲线中 $c^2 = a^2 + b^2$，且 $c$ 最大（区别于椭圆 $a^2=b^2+c^2$）。
• 双曲线的离心率（一步公式）$e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$，由 $c^2=a^2+b^2$ 与 $e=c/a$ 直接得到。
• 同角三角函数的基本关系$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$；且当 $\cos \alpha \neq 0$ 时 $\sin \alpha / \cos \alpha = \tan \alpha$。
• 图象平移的左加右减把 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $t$（$t>0$）得 $y=f(x-t)$，向左平移得 $y=f(x+t)$——加减改的是自变量 $x$。
• 椭圆的 a、b、c 关系椭圆中 $c^2 = a^2 - b^2$，且 $a$ 最大（区别于双曲线 $c^2=a^2+b^2$）。
• 椭圆的离心率$e=c/a=\sqrt{1-(b/a)^2}$，取值 $(0,1)$。
• 向量的坐标运算坐标加减对应分量运算，模长 $\sqrt{x^2+y^2}$。
• 虚数单位 i规定 $i^2=-1$；$i$ 与实数一样进行四则运算。
• 诱导公式把任意角的三角函数化到锐角：公式五 $\sin(\pi/2-\alpha)=\cos \alpha$、$\cos(\pi/2-\alpha)=\sin \alpha$，公式六 $\sin(\pi/2+\alpha)=\cos \alpha$、$\cos(\pi/2+\alpha)=-\sin \alpha$，等等。
• 余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，联系三边与一角。
• 圆的一般方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 在 $D^2+E^2-4F>0$ 时表示圆，圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$；$=0$ 是一个点，$<0$ 什么图形也不是。
• 圆锥的侧面积与体积侧面积 $S$侧 $= \pi rl$（$l$ 是母线），体积 $V = (1/3)\pi r^2h$；母线、高、底面半径满足 $l^2 = r^2 + h^2$。
• 正切函数的对称中心$y = \tan x$ 的对称中心是 $(k\pi/2, 0)$，$k\in\mathbb{Z}$——含零点与渐近线两处。
• 正弦定理$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$，边角互化的桥梁。
• 正弦相等的两族解$\sin \alpha=\sin \beta \iff \alpha=\beta+2k\pi$ 或 $\alpha=\pi-\beta+2k\pi$。
• 指数幂的运算性质$a^ra^s=a^{r+s}$；$(a^r)^s=a^{rs}$；$(ab)^r=a^rb^r$（$a>0$）——同底相乘指数相加，幂的幂指数相乘。
• 中线定理$M$ 是 $AB$ 中点时，$|PA|^2 + |PB|^2 = 2|PM|^2 + 2|MA|^2$；等价于「平行四边形对角线平方和 = 四边平方和」。
• 柱体、锥体、台体的体积$V$柱 $= Sh$；$V$锥 $= (1/3)Sh$；$V$台 $= (1/3)(S'+\sqrt{S'S}+S)h$。台体在 $S'=S$ 时退化成柱体、$S'=0$ 时退化成锥体。
• 组合数公式从 $n$ 个不同元素里取 $m$ 个的取法数 $C_n^m = n!/(m!(n-m)!)$；只管取到谁，不管先后。