两角和与差的余弦公式

教材原文

此公式给出了任意角 $\alpha$ ，$\beta$ 的正弦、余弦与其差角 $\alpha - \beta$ 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 $C_{(\alpha - \beta)}$。

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$

于是得到了两角和的余弦公式，简记作 $C_{(\alpha+\beta)}$ .

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta . \quad \mathrm {(C_{(\alpha + \beta)})}$

公式

要点

• 记法：余弦的展开「符号反转」——和角 $(\alpha+\beta)$ 展开中间是减，差角 $(\alpha-\beta)$ 展开中间是加（与正弦的展开正好相反）。
• 两式相加得 $\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$，相减得 $\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta$——「和差角」与「乘积」可以互译。
• 和角公式由差角公式把 $\beta$ 换成 $-\beta$ 直接推出。