浙江 2024 · 数学 q04

冷启动：一件工具 + 一个警示

假设你刚学两角和差的余弦公式。本题的全部武器就是下面两行：

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\ \boxed{-}\ \sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta\ \boxed{+}\ \sin\alpha\sin\beta$$

警示先行：符号是反转的——和角 $(\alpha+\beta)$ 展开中间用减，差角 $(\alpha-\beta)$ 展开中间用加（与正弦的展开正好拧着）。这是易错点「和差余弦符号记反」指的那类错，本题四个选项里有三个就是为它准备的。不信哪行，代 $\beta=0$ 验：左边 $\cos\alpha$，右边 $\cos\alpha\cdot 1\pm\sin\alpha\cdot 0$，符号立刻现形。

再加一句旧的：$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，所以 $\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$。

题目在说什么。 已知 $\cos(\alpha+\beta)=m$ 与 $\tan\alpha\tan\beta=2$，求 $\cos(\alpha-\beta)$。下面一条通法、一条速判。

解法一：展开联立求基本量

怎么想到的。 把三个式子都摊开看：已知的 $\cos(\alpha+\beta)$、待求的 $\cos(\alpha-\beta)$、以及 $\tan\alpha\tan\beta$，展开之后共用同一批零件——$\cos\alpha\cos\beta$ 与 $\sin\alpha\sin\beta$。那就把这两个乘积认作基本量：所有条件与目标统一翻译成它们，剩下的只是解一个二元一次方程组。这就是基本量法。

记 $c=\cos\alpha\cos\beta$，$s=\sin\alpha\sin\beta$。

① 翻译已知。 $\cos(\alpha+\beta)=m$ 就是

$$c-s=m$$

$\tan\alpha\tan\beta=2$ 就是 $\dfrac{s}{c}=2$，即

$$s=2c$$

② 联立。 代入第一式：$c-2c=m$，即

$$c=-m,\qquad s=2c=-2m$$

③ 组装目标。 $\cos(\alpha-\beta)=c+s$（差角用加！）：

$$\cos(\alpha-\beta)=-m+(-2m)=\boxed{-3m}$$

故选 A。

同一对公式，换个组织。 也可以不解两个乘积：设 $X=\cos(\alpha-\beta)$（待求）、$Y=\cos(\alpha+\beta)=m$（已知），两行展开一加一减给出 $X+Y=2c$、$X-Y=2s$，于是

$$\frac{X-Y}{X+Y}=\frac{s}{c}=\tan\alpha\tan\beta=2 \ \Longrightarrow\ X-Y=2X+2Y\ \Longrightarrow\ X=-3Y=-3m$$

直奔 $X$ 而去，一步都不绕。它与上面是同一条路（同一对展开式），只是先作比、不解基本量。

解法二：特殊值代入

怎么想到的。 四个选项都是 $m$ 的倍数——意思是「条件一旦给定，答案与 $m$ 的关系就钉死了，对一切满足条件的 $\alpha,\beta$ 都成立」。那它对任何一组特例也成立。挑最好算的一组代进去，题就落成了算术。这就是特殊值代入。

挑哪组？ 条件只有 $\tan\alpha\tan\beta=2$ 这一个约束，最扁的取法是令 $\alpha=\beta$，于是

$$\tan^2\alpha=2,\quad\text{取 }\tan\alpha=\sqrt2$$

（取 $-\sqrt2$ 也行——下面只经过 $\cos^2\alpha$，正负不影响。）

算 $m$。 按 $\tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\dfrac{\sqrt2}{1}$，取对边 $\sqrt2$、邻边 $1$，斜边 $=\sqrt{2+1}=\sqrt3$，故 $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$。而 $\alpha=\beta$ 时 $\alpha+\beta=2\alpha$，用二倍角公式：

$$m=\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{1}{3}-1=-\frac{1}{3}$$

算目标。 $\cos(\alpha-\beta)=\cos 0=1$。

对选项。 在这组特例下，四个选项各自取值：

$$\text{A. }-3m=1\ ✓\qquad \text{B. }-\frac{m}{3}=\frac{1}{9}\qquad \text{C. }\frac{m}{3}=-\frac{1}{9}\qquad \text{D. }3m=-1$$

只有 A 给出 $1$。故选 A。

它凭什么算数。 特殊值只能证伪、不能证明——但单选题必有答案，三个都被证伪，剩下的就是。四个值 $1,\frac19,-\frac19,-1$ 互不相同、没撞车，一次特例就够；若撞上两个相同，再换一组特例分。

这两条路差在哪。 解法一是通法：不管条件多别扭，翻译成基本量联立总能走到底，解答题也拿得出手。解法二是选择题专用的杠杆：它不解题，它利用「单选必有答案」这个事实把题压扁成一次特例计算——快，但换不成解答题的过程分。考场上解法二探路、解法一写证，是最稳的组合。

🕳️ 避坑

• 和角用减、差角用加，写之前默背一遍「余弦见和就变脸」。本题把 $\cos(\alpha+\beta)$ 错展成 $c+s$ 得 $c=\frac m3$、$s=\frac{2m}{3}$；若差角再错展成 $c-s$，得 $-\frac m3$——正好撞进 B：B 是给「两个符号连环错」埋的。
• $\tan\alpha\tan\beta=2$ 翻成 $\dfrac{s}{c}=2$ 时是 $s=2c$，别上下颠倒写成 $c=2s$：那样解出 $s=m$、$c=2m$，组装得 $3m$——正好撞进 D。
• 算出一个对不上任何选项的值（比如 $m$）时，那是报警——回去查符号与颠倒，别往最近的选项上凑。
• 解法二取特例前先确认特例真满足条件：$\tan\alpha=\sqrt2$ 时 $\tan\alpha\tan\beta=2$ 成立，才允许往下算。