浙江 2024 · 数学 q04

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2024 · 数学 q04 原卷截图（含答案）

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题面

4 已知 cos⁡(α+β)=m,tan⁡αtan⁡β=2\cos (\alpha +\beta) = m,\tan \alpha \tan \beta = 2 ，则 cos⁡(α−β)=\cos (\alpha -\beta) = （ ） A. −3m-3m B. −m3-\frac{m}{3} C. m3\frac{m}{3} D. 3m3m

答案

A

解析

分析

根据两角和的余弦可求 cos⁡αcos⁡β,sin⁡αsin⁡β\cos\alpha\cos\beta,\sin\alpha\sin\beta 的关系，结合 tan⁡αtan⁡β\tan\alpha\tan\beta 的值可求前者，故可求 cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) 的值.

因为 cos⁡(α+β)=m\cos(\alpha+\beta)=m ，所以 cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=m\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=m ， 而 tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2 ，所以 sin⁡αsin⁡β=2cos⁡αcos⁡β\sin\alpha\sin\beta=2\cos\alpha\cos\beta ， 故 cos⁡αcos⁡β−2cos⁡αcos⁡β=m\cos\alpha\cos\beta-2\cos\alpha\cos\beta=m 即 cos⁡αcos⁡β=−m\cos\alpha\cos\beta=-m ， 从而 sin⁡αsin⁡β=−2m\sin\alpha\sin\beta=-2m ，故 cos⁡(α−β)=−3m\cos(\alpha-\beta)=-3m ， 故选：A.