浙江 2024 年数学真题

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q01已知集合 $A = \{x - 5 < x^3 < 5\}, B = \{-3, -1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B = (\quad)$
q02若 $\frac{z}{z-1}=1+i$ ，则 z=（）
q03已知向量 $\vec{a}=(0,1),\vec{b}=(2,x)$ ，若 $\vec{b}\perp(\vec{b}-4\vec{a})$ ，则 x=（）
q04已知 $\cos (\alpha +\beta) = m,\tan \alpha \tan \beta = 2$ ，则 $\cos (\alpha -\beta) =$ （）
q05已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 $\sqrt{3}$ , 则圆锥的体积为 ( )
q06已知函数为 $f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2ax - a, & x < 0 \\ \mathrm{e}^x + \ln(x + 1), & x \geq 0 \end{cases}$ ，在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（）
q07当 $x \in[0, 2\pi]$ 时, 曲线 $y = \sin x$ 与 $y = 2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为 ( )
q08已知函数为 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ， $f(x) > f(x - 1) + f(x - 2)$ ，且当 $x < 3$ 时 $f(x) = x$ ，则下列结论中一定正确的是（）
q09为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 X 服从正态分布 $N(1.8,0.1^{2})$ ，假设推动出口后的亩收入 Y 服从正态分布 $N(\bar{x},s^{2})$ ，则（）（若随机变量 Z 服从正态分布 $N(u,\sigma^{2})$ ， $P(Z<u+\sigma)\approx0.8413$ ）
q10设函数 $f(x) = (x - 1)^2 (x - 4)$ ，则（）
q11在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
q12设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1$ 、 $F_2$ ，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|F_1A| = 13, |AB| = 10$ ，则 $C$ 的离心率为 ____.
q13若曲线 $y = \mathrm{e}^x + x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y = \ln (x + 1) + a$ 的切线，则 $a =$ ____.
q14甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7，乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 ____ .
q15记 $\triangle ABC$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sin C = \sqrt{2} \cos B$ ， $a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2} ab$ (1) 求 $B$ ；
q16已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上两点.
q17如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $PA = AC = 2$ ， $BC = 1, AB = \sqrt{3}$ .
q18已知函数 $f(x) = \ln \frac{x}{2 - x} + ax + b(x - 1)^3$
q19设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j} (i < j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i, j)$ -可分数列.