浙江 2024 · 数学 q02

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2024 · 数学 q02 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. 若 zz−1=1+i\frac{z}{z-1}=1+i ，则 z=（）
    A. -1-i
    B. −1+i-1+i
    C. 1-i
    D. 1+i1+i

答案

C

本题的知识树

1 概念 · 2 公式 · 1 题型 · 1 套路 · 1 易错点 · 最深 3 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

复数分式方程 · 交叉相乘解，或把四个选项代回验 · 最终答案：C

冷启动：一个规矩 + 一个动作

假设你刚认识复数，只知道两件事：复数长 a+bia+bi 这样（a,ba,b 是实数），以及虚数单位 ii 满足 i2=−1i^2=-1。这道题要补的功课只有一件：复数怎么做除法。

除法的规矩：分母先实数化。 a+bic+di\dfrac{a+bi}{c+di} 不能硬算，要分子分母同乘 c−dic-di——因为 (c+di)(c−di)=c2+d2(c+di)(c-di)=c^2+d^2 是实数，分母一实，剩下的只是整理。本题全程只用它的一个特例：

1i=−i(验一下： i⋅(−i)=−i2=−(−1)=1)\frac{1}{i}=-i\qquad(\text{验一下： }i\cdot(-i)=-i^2=-(-1)=1)

乘法照旧。 复数的乘法和多项式乘法一模一样，照分配律展开，每遇到 i2i^2 就换成 −1-1。

题目在说什么。 方程 zz−1=1+i\dfrac{z}{z-1}=1+i 里的未知数是复数 zz。一个复数方程、四个具体候选——正着解、反着验，各是一条路。

解法一：交叉相乘解方程

怎么想到的。 分式方程的标准动作：两边同乘分母，先把分数干掉。剩下的只是「移项、合并、系数化 1」那套一元一次方程的老流程——未知数是复数，流程一步不变。

① 同乘 (z−1)(z-1)：

z=(1+i)(z−1)z=(1+i)(z-1)

② 右边展开（分配律）：

z=(1+i)z−(1+i)z=(1+i)z-(1+i)

③ 把含 zz 的收到一边。 两边减去 (1+i)z(1+i)z：

z−(1+i)z=−(1+i) ⟹ (1−(1+i))z=−1−i ⟹ −iz=−1−iz-(1+i)z=-(1+i)\ \Longrightarrow\ \big(1-(1+i)\big)z=-1-i\ \Longrightarrow\ -iz=-1-i

④ 系数化 1——这就是那步除法。 两边除以 −i-i（负号两边各消一个），再用冷启动那句 1i=−i\dfrac{1}{i}=-i：

z=−1−i−i=1+ii=(1+i)⋅1i=(1+i)(−i)z=\frac{-1-i}{-i}=\frac{1+i}{i}=(1+i)\cdot\frac{1}{i}=(1+i)(-i)

展开：(1+i)(−i)=−i−i2=−i+1(1+i)(-i)=-i-i^2=-i+1，即

z=1−i\boxed{z=1-i}

⑤ 验算（顺手，十秒钟）。 z−1=−iz-1=-i，于是

zz−1=1−i−i=(1−i)⋅1−i=(1−i)⋅i=i−i2=i+1 ✓\frac{z}{z-1}=\frac{1-i}{-i}=(1-i)\cdot\frac{1}{-i}=(1-i)\cdot i=i-i^2=i+1\ ✓

更快的记账：拆出常数。 第 ① 步也可以不交叉相乘——分子分母长得太像了，zz−1=(z−1)+1z−1=1+1z−1\dfrac{z}{z-1}=\dfrac{(z-1)+1}{z-1}=1+\dfrac{1}{z-1}，于是方程变成 1+1z−1=1+i1+\dfrac{1}{z-1}=1+i，即 1z−1=i\dfrac{1}{z-1}=i，故 z−1=1i=−iz-1=\dfrac{1}{i}=-i，z=1−iz=1-i。三步到。它和交叉相乘是同一条路：都是「把分式化掉再解 zz」，只是一个先拆、一个先乘，用的工具与推进方向完全相同。

解法二：代回验证

怎么想到的。 选择题把四个候选印在卷面上——它们也是条件的一部分。解方程是「从条件找答案」，代回验证是「拿答案试条件」，方向正好反过来。方程里的分式看着烦时，反过来逐个试常常更快，而且每个候选都是一次除法练习。

要验的条件：zz−1=1+i\dfrac{z}{z-1}=1+i。（先看有没有不能代的：四个候选里没有 11，分母都活得下去。）

  • A. −1−i-1-i：−1−i−2−i=(−1−i)(−2+i)(−2−i)(−2+i)=3+i5\dfrac{-1-i}{-2-i}=\dfrac{(-1-i)(-2+i)}{(-2-i)(-2+i)}=\dfrac{3+i}{5}，不是 1+i1+i。✗
  • B. −1+i-1+i：−1+i−2+i=(−1+i)(−2−i)5=3−i5\dfrac{-1+i}{-2+i}=\dfrac{(-1+i)(-2-i)}{5}=\dfrac{3-i}{5}。✗
  • C. 1−i1-i：1−i−i=(1−i)⋅i=i−i2=1+i\dfrac{1-i}{-i}=(1-i)\cdot i=i-i^2=1+i。✓
  • D. 1+i1+i：1+ii=(1+i)(−i)=1−i\dfrac{1+i}{i}=(1+i)(-i)=1-i——方向反了，是 1−i1-i 不是 1+i1+i。✗

故选 C。

教学图：复平面上四个候选点各在自己位置（A −1−i、B −1+i、C 1−i、D 1+i），每个点旁标着它自己的 z/(z−1) 读数与 ✓／×——只有 C 算出 1+i；虚线箭头从 1 指向 C 那支向量（即 z−1 = −i）平移到原点后是黑色箭头，绿色箭头是 z 本身，两支之间一段 45° 圆弧标着「×(1+i)：转 45°、拉长 √2 倍」

这两条路差在哪。 解法一不问选项是谁，从条件直接推出答案，填空题也得用它；解法二只吃选择题的红利，把「求解」换成「验四次」。考场上最稳的姿势是解法一解、解法二验——两种方向各算一遍，移项符号错当场现形。

🕳️ 避坑

  • 除以 ii 是乘 −i-i：1+ii=(1+i)(−i)=1−i\dfrac{1+i}{i}=(1+i)(-i)=1-i。把 ii 当普通数约掉（写成 1+i1+i 或 22）、或乘错符号（写成 −1+i-1+i），正好各撞一个干扰项。这就是易错点「复数相除硬约分母」指的那类错。
  • 第 ③ 步移项：−iz=−1−i-iz=-1-i 两边除以 −i-i 得 z=1+iiz=\dfrac{1+i}{i}，负号两边各消一个，别只消一边。
  • D 是给「右边是 1+i1+i、直接选 1+i1+i」准备的：方程左边是 zz−1\dfrac{z}{z-1}，不是 zz。
  • 解法二里 z 使分母为零的候选（若出现 11）要先扔，不算即排除。

本题涉及的教材页

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