7.1 复数的概念

本节在课本上是两页（第 75、76 页），承担的是第 7 章「复数」的开头：数为什么要再扩充一次、新数 $\mathrm{i}$ 是什么、扩充出来的数系由哪些数组成、复数怎么分类。运算不是本节的事（那是 7.2 的内容），本节只把复数是什么、长什么样、怎么分类钉牢。

这一节没有课本习题，所以本页面上没有习题详解那一块。

一、起点：一个在实数系里解不了的方程

实系数一元二次方程判别式 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ 时，求根公式里要出现 $\sqrt{\Delta}$——也就是要开一个负实数的平方。而负实数在实数系里不能开平方，这正是「求判别式小于 0 的方程的根」这件事卡住的地方。

「负实数能不能开平方」可以归结为一个方程。课本说的是：

方程 $x^2 + a = 0$（$a > 0$）有没有解，归结为方程 $x^2 + 1 = 0$ 有没有解。

它留了一个「想一想，这是为什么」。答案是配系数：$x^2 + a = 0$ 两边除以 $a$，得到 $\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2 + 1 = 0$——未知数换了个刻度而已，解的结构一模一样。所以只要 $x^2 + 1 = 0$ 有解，所有 $x^2 + a = 0$（$a > 0$）都有解；反过来取 $a = 1$ 就是这个方程本身。于是问题缩成一个：让 $x^2 + 1 = 0$ 有解。

二、历次数系扩充的剧本

$x^2 + 1 = 0$ 在实数集里无解。这不是头一次遇到「有方程解不了」——历史上每次遇到，数学的处理方式都是把数系扩大：

注意每次扩充都带着两条规矩（课本在「探究」里明说的）：

1. 新数系里旧运算照旧——实数里规定的加法、乘法，和有理数里规定的协调一致；
2. 运算律不破坏——加法和乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律。

这两条是「新数真的包含旧数、旧运算真的还是旧运算」的保证，也是下一节「新数系由哪些数组成」的推理依据。

三、引入 $\mathrm{i}$：让 $x^2 + 1 = 0$ 有解

设想引入一个新数 $\mathrm{i}$，使它成为方程 $x^2 + 1 = 0$ 的解，即使得

$\mathrm{i}^2 = -1.$

$\mathrm{i}^2 = -1$ 是规定不是结论——它正是这条扩充线的出发点。$\mathrm{i}$ 是欧拉最早引入的，取自 imaginary（想象的）一词的词头，它叫虚数单位。

有了 $\mathrm{i}$，立刻有三件免费的事：

• $x = \mathrm{i}$ 是解，$x = -\mathrm{i}$ 也是解（$(-\mathrm{i})^2 = \mathrm{i}^2 = -1$）。方程 $x^2 + 1 = 0$ 在扩充后的数系里有两个根，和 $x^2 - 2 = 0$ 的两个根 $\pm\sqrt{2}$ 一样成对出现。
• $\mathrm{i}$ 不可能是实数：实数的平方非负，而 $\mathrm{i}^2 = -1 < 0$。这条是整个复数的地基，后面「复数相等」和「分类」的合理性都立在它上面。
• 「任意负实数开平方」也顺带解决了：$x^2 = -a$（$a > 0$）的解是 $x = \pm\sqrt{a}\,\mathrm{i}$，因为 $(\sqrt{a}\,\mathrm{i})^2 = a\mathrm{i}^2 = -a$。这正是第一节归结的那个问题的答案。

四、新数系长什么样：$a + b\mathrm{i}$

课本「思考」里的问题是：把 $\mathrm{i}$ 添进实数集、保持那两条规矩，新数系由哪些数组成？

推一下：实数与 $\mathrm{i}$ 相乘，结果记作 $b\mathrm{i}$；实数 $a$ 与 $b\mathrm{i}$ 相加，结果记作 $a + b\mathrm{i}$。每个实数 $a$ 自己可以写成 $a + 0\mathrm{i}$，$\mathrm{i}$ 自己可以写成 $0 + 1\mathrm{i}$——全都在这个形状里。而因为运算律保持，$\mathrm{i}$ 与实数的任何加减乘组合都能化简成 $a + b\mathrm{i}$ 的形状，不会冒出这个形状之外的新数。所以新数系就是：

形如 $a + b\mathrm{i}$（$a, b \in \mathbf{R}$）的数叫做复数；全体复数构成的集合 $\mathbf{C} = \{a + b\mathrm{i} \mid a, b \in \mathbf{R}\}$ 叫做复数集。

复数通常用 $z$ 表示：$z = a + b\mathrm{i}$，其中 $a$ 叫做 $z$ 的实部，$b$ 叫做 $z$ 的虚部。

这里要立刻钉下第一条规矩：

虚部是 $b$（一个实数），不是 $b\mathrm{i}$。 $3 + 2\mathrm{i}$ 的虚部是 $2$，不是 $2\mathrm{i}$。

几个例子过一遍：$3 + 2\mathrm{i}$ 的实部是 $3$、虚部是 $2$；$\frac{1}{2} - \sqrt{3}\,\mathrm{i}$ 的实部是 $\frac{1}{2}$、虚部是 $-\sqrt{3}$；$-0.2\mathrm{i}$ 的实部是 $0$、虚部是 $-0.2$——最后一个没有实部内容，它有一种专门的名字（见第六节）。

五、复数相等：一个等式拆成两个实数等式

任取两个复数 $a + b\mathrm{i}$、$c + d\mathrm{i}$（$a, b, c, d \in \mathbf{R}$），规定：

$a + b\mathrm{i} = c + d\mathrm{i} \iff a = c \ \text{且} \ b = d.$

也就是：两个复数相等，当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等。课本直接规定，它的合理性来自第三节那条地基：$\mathrm{i}$ 不是实数，实部与虚部「掺不到一起」。把等式挪一挪得 $(a - c) + (b - d)\mathrm{i} = 0$；若 $b \neq d$，则 $\mathrm{i} = \frac{c - a}{b - d}$——左边不是实数，右边是两个实数的商（还是实数），矛盾。所以必须 $b = d$，进而 $a = c$。

复数相等是本节最值钱的工具：它把一个复数等式拆成两个实数等式，把「复数的条件」翻译成「实数（参数的）方程」。2021、2022 两年的真题各有一道正是用它。

但拆出来的是一个方程组，而方程组的解未必只有一组。 这是这条工具最容易用漏的地方： 拆完之后剩下的是纯粹的实数问题，它有几组解就是几组解，不会因为原来那个等式只写了一行而变少。 浙江 2014 年第 2 题里 $(a + b\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}$ 拆成 $a^2 - b^2 = 0$ 与 $2ab = 2$， 解出来是 $(1, 1)$ 与 $(-1, -1)$ 两组；只写出第一组就收手，那道题的答案会从「充分不必要」变成「充要」。

背后是一条值得单独记住的事实：在复数范围内，任何非零复数都恰好有两个平方根，且互为相反数。 一半的理由是 $(-z)^2 = z^2$，所以有一个根就有第二个；另一半是若 $z_1^2 = z_2^2$， 则 $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2) = 0$，而复数乘法没有零因子，故 $z_2 = \pm z_1$——不会有第三个。 于是「$z^2$ 等于某个数」这样的条件，钉住的从来不是一个复数，而是一对。

六、分类：实数、虚数、纯虚数

复数 $z = a + b\mathrm{i}$ 按虚部 $b$ 分类：

三件事立刻记住：

• 实数集是复数集的真子集：$\mathbf{R} \subsetneq \mathbf{C}$，每个实数 $a$ 都是复数 $a + 0\mathrm{i}$。
• 实数与虚数不重叠：$b = 0$ 与 $b \neq 0$ 互斥；$0$ 是实数，不是虚数。
• 纯虚数是虚数的子类：先满足 $b \neq 0$，再要求 $a = 0$。「纯虚数」不是「虚数」的反面，而是虚数里实部为零的那一支。课本图 7.1-1（上方扫描图里）画的就是这层包含关系：复数集 ⊃ 实数集 ∪ 虚数集，虚数集 ⊃ 纯虚数集。

七、例 1（课本例 1）：$m$ 取什么值时 $z = m + 1 + (m - 1)\mathrm{i}$ 是实数、虚数、纯虚数

先认人：$z = (m + 1) + (m - 1)\mathrm{i}$，实部是 $m + 1$，虚部是 $m - 1$。因为 $m \in \mathbf{R}$，实部、虚部都是实数——分类条件正是对着实数说的，这条前提成立，下面的翻译才合法。

1. 实数：虚部为 $0$，即 $m - 1 = 0$，得 $m = 1$。
2. 虚数：虚部不为 $0$，即 $m - 1 \neq 0$，得 $m \neq 1$。
3. 纯虚数：实部为 $0$ 且虚部不为 $0$。由 $m + 1 = 0$ 得候选 $m = -1$；再验虚部：$m - 1 = -2 \neq 0$，成立。所以 $m = -1$，此时 $z = -2\mathrm{i}$，确实是纯虚数。

这道题的动作：先把实部、虚部当普通的代数式求出来，再把「实数 / 虚数 / 纯虚数」翻译成「虚部为零 / 虚部非零 / 实部为零且虚部非零」的方程或不等式。 第 (3) 问是陷阱所在——两个条件缺一不可，先解实部方程拿到候选，再回头验虚部，一步都不能省。

八、易错清单

按失分频率排：

1. 虚部写成带 $\mathrm{i}$ 的。 $3 + 2\mathrm{i}$ 的虚部是 $2$ 不是 $2\mathrm{i}$。相等、分类全对着系数说话，带不带 $\mathrm{i}$ 是两回事。
2. 纯虚数只验实部为零，漏验虚部非零。 例 1 第 (3) 问就是罚这个的：两个条件都写出来才算数。
3. 复数相等只对上一半。 实部、虚部两条都要相等；只对一边就下结论，选择题的干扰项就是这么设计的。
4. 「虚数」与「纯虚数」混为一谈。 虚数是 $b \neq 0$ 的整一类，纯虚数是其中 $a = 0$ 的子类；$0$ 是实数不是虚数。
5. 展开时漏掉 $\mathrm{i}^2 = -1$ 的负号。 $(1 + a\mathrm{i})\mathrm{i} = \mathrm{i} + a\mathrm{i}^2 = -a + \mathrm{i}$——$\mathrm{i}^2$ 换 $-1$ 那一步最常出错（2021 年真题的干扰项就是为此设计的）。

九、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」是构建期派生的完整清单。语料里 2020—2025 连续六年的复数小题都出现在第 1 题或第 2 题——位置永远靠前、分值不高，是开卷后第一道该稳稳拿下的题。给一个读的顺序：

• 先做 2020 年第 2 题（$a - 1 + (a - 2)\mathrm{i}$ 是实数，求 $a$）：它就是本节例 1 的第 (1) 问换了个字母——认出虚部是 $a - 2$，令它为零。本节读完立刻能做，做完就知道第六节那张分类表到底怎么用。
• 再做 2022 年第 2 题（$a + 3\mathrm{i} = (b + \mathrm{i})\mathrm{i}$，求 $a, b$）：本节「复数相等」的直球考查——右边展开成 $a + b\mathrm{i}$，实部对实部、虚部对虚部。做完它，本节就闭环了。
• 接着做 2021 年第 2 题（$(1 + a\mathrm{i})\mathrm{i} = 3 + \mathrm{i}$，求 $a$）：同一个动作加一个弯——展开时把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$，漏掉负号恰好落到错误选项上。
• 接着看 2025 年第 1 题（$(1 + 5\mathrm{i})\mathrm{i}$ 的虚部）：只问虚部，考的就是第四节那句「虚部是系数，不是带 $\mathrm{i}$ 的项」。
• 然后做 2024 年第 2 题（$\frac{z}{z - 1} = 1 + \mathrm{i}$，求 $z$）：它主要靠 7.2 的乘除运算，但「代回选项验算」的每一步都是本节规定的复数相等——学到 7.2 再回头做，正好检验本节吃透没有。
• 另外看一眼 2014 年第 2 题（判断「$a = b = 1$」是「$(a + b\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}$」的什么条件）：它披着必修第一册逻辑题的皮，内核却全是本节的第五节——把复数等式拆成 $a^2 - b^2 = 0$ 与 $2ab = 2$，再老老实实把两组解都写出来。这道题专门罚「只写一组解」的人：漏掉 $(-1, -1)$，答案就错。
• 最后是 2023 年第 2 题（$z - \bar{z}$，$z = \frac{1 - \mathrm{i}}{2 + 2\mathrm{i}}$）：需要「共轭复数」这个新概念，那是 7.2 的内容，可以当作本节的上限——概念节学的每一条都会在后面的运算里兑现。