浙江 2009 · 数学 q03

冷启动：把式子化成 $a+b\mathrm{i}$，答案自己就露出来了

题目给了 $z=1+\mathrm{i}$，要算

$$\frac{2}{z}+z^{2} .$$

这是一道纯计算题，唯一的目标是把式子化成标准代数形式 $a+b\mathrm{i}$（$a$、$b$ 都是实数，$\mathrm{i}$ 只以一次方出现），再与四个选项对号。式子有两块，一块是除法、一块是乘方，各算各的，最后相加。

乘方那一块没有悬念，按多项式展开再把 $\mathrm{i}^{2}$ 换成 $-1$ 即可：

$$z^{2}=(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i} .$$

麻烦的是除法那一块。复数除法没有「约分」这一说：$\dfrac{2}{1+\mathrm{i}}$ 的分母里含 $\mathrm{i}$，它既不是可以直接丢掉的因子，也不能像实数那样一眼写出商。分母必须先变成实数——下面三条路，正是把分母「变没」的三种不同想法。

解法一：分子分母同乘共轭，把分母实数化

怎么想到的。 想让分母变成实数，就要找一个数乘上去之后 $\mathrm{i}$ 自动消失。平方差公式给的正是这件事：$(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})=c^{2}-(d\mathrm{i})^{2}=c^{2}+d^{2}$——一个复数乘上它的共轭，结果一定是实数。于是分子分母同乘分母的共轭，分母立刻落地。

① 除法那一块。 分母 $1+\mathrm{i}$ 的共轭是 $1-\mathrm{i}$，上下同乘：

$$\frac{2}{1+\mathrm{i}} =\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} =\frac{2(1-\mathrm{i})}{1^{2}+1^{2}} =\frac{2(1-\mathrm{i})}{2} =1-\mathrm{i} .$$

② 乘方那一块（冷启动里已经算过）：$z^{2}=2\mathrm{i}$。

③ 相加。 实部与实部加、虚部与虚部加：

$$\frac{2}{z}+z^{2}=(1-\mathrm{i})+2\mathrm{i}=1+(-1+2)\mathrm{i}=1+\mathrm{i} .$$

对照选项，答案 D。

提醒一句： ① 里最常见的错法是把分母那个 $\mathrm{i}$ 当成普通因子去约，写出 $\dfrac{2}{1+\mathrm{i}}=2$ 或者 $1+\mathrm{i}$ 之类。复数除法只有「先把分母实数化」这一条规矩，没有别的。同源的特例值得单独记住：$\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$（因为 $\mathrm{i}\cdot(-\mathrm{i})=-\mathrm{i}^{2}=1$）——除以 $\mathrm{i}$ 就是乘 $-\mathrm{i}$，符号别弄反。

解法二：待定系数——设 $\frac{2}{z}=x+y\mathrm{i}$，两边乘回去比实部虚部

怎么想到的。 「乘共轭」是个要记的技巧。如果一时想不起来，还有一条完全不用记的路：商既然也是一个复数，那就先把它设成 $x+y\mathrm{i}$，然后把除法翻成乘法——两边同乘 $z$，未知数就跑到等号右边去了，剩下的只是一个二元一次方程组。

① 设未知数，把除法翻成乘法。 设

$$\frac{2}{z}=x+y\mathrm{i}\qquad(x,\ y\in\mathbf{R}) ,$$

两边同乘 $z=1+\mathrm{i}$，得 $2=(1+\mathrm{i})(x+y\mathrm{i})$。右边按乘法法则展开（把 $\mathrm{i}^{2}$ 换成 $-1$）：

$$(1+\mathrm{i})(x+y\mathrm{i})=x+y\mathrm{i}+x\mathrm{i}+y\mathrm{i}^{2}=(x-y)+(x+y)\mathrm{i} .$$

② 用「复数相等」拆成两个实数方程。 左边的 $2$ 写成标准形式就是 $2+0\cdot\mathrm{i}$，它的虚部是 $0$。两个复数相等当且仅当实部、虚部分别相等，于是

$$\begin{cases} x-y=2, \\[2pt] x+y=0 . \end{cases}$$

两式相加得 $2x=2$，$x=1$；回代得 $y=-1$。所以 $\dfrac{2}{z}=1-\mathrm{i}$，与解法一算出来的一致。

③ 再加上 $z^{2}=2\mathrm{i}$，得 $1+\mathrm{i}$，答案 D。

这条路值在哪里。 它把一件「要想起某个技巧」的事，换成了一件「照着做就行」的事：凡是复数等式里有未知复数，都可以设成 $x+y\mathrm{i}$ 再比实部虚部。解 $z$ 的方程、求满足某条件的复数、判断参数取值，用的都是这一招。代价是多解一个方程组——这道题里两步就解完了，不亏。

一个必须守住的前提： 拆成两个实数方程的合法性，靠的是 $x$、$y$ 都是实数这句话。如果设的时候忘了这个限制，「实部虚部分别相等」就不成立了——比如 $\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}=-1$ 并不能推出 $\mathrm{i}=-1$ 且 $\mathrm{i}=0$。

解法三：先看模——分子 $2$ 恰好就是 $|z|^{2}$，商正是 $\bar z$

怎么想到的。 解法一里有一个细节值得停一停：同乘共轭之后，分母变成的那个实数是 $1^{2}+1^{2}=2$——而分子恰好也是 $2$。这不是巧合能用一次就算了的事：它意味着这道题里的分数根本不用算。

① 一条恒等式。 对任一复数 $z=a+b\mathrm{i}$，它与自己的共轭 $\bar z=a-b\mathrm{i}$ 相乘得

$$z\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2} ,$$

即「复数乘共轭等于模的平方」。这里 $|z|$ 是复数的模，在复平面上就是 $z$ 对应的点到原点的距离。

② 代进去。 本题 $z=1+\mathrm{i}$，故 $|z|^{2}=1^{2}+1^{2}=2$，于是分子上的那个 $2$ 正好可以换成 $z\bar z$：

$$\frac{2}{z}=\frac{|z|^{2}}{z}=\frac{z\bar z}{z}=\bar z=1-\mathrm{i} .$$

一步到位，一次乘法都没做。

③ 加上 $z^{2}=2\mathrm{i}$ 得 $1+\mathrm{i}$，答案 D。

它给出的一般式与它的边界。 上面那条恒等式反过来写就是通用的倒数公式

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar z}{|z|^{2}}, \qquad\text{于是}\qquad \frac{k}{z}=\frac{k}{|z|^{2}}\,\bar z .$$

也就是说：除以一个复数 = 乘它的共轭再除以模的平方。本题之所以能「一眼看完」，是因为 $k=2$ 与 $|z|^{2}=2$ 撞上了，系数化成了 $1$；换成 $z=1+2\mathrm{i}$ 就得老实写 $\dfrac{2}{z}=\dfrac{2}{5}(1-2\mathrm{i})$，省不掉那个分数。但先算一下 $|z|^{2}$ 再决定怎么走，这个习惯本身是划算的：它一并回答了「分母实数化之后要除以几」。

顺带一个好玩的巧合。 算出来的和 $1+\mathrm{i}$ 恰好又是 $z$ 本身——在图上，两支加数拼成的平行四边形，对角线正好落回 $z$ 那个点。这等价于说 $z$ 满足 $\dfrac{2}{z}+z^{2}=z$，即 $z^{3}-z^{2}+2=0$；代进去验一下：$z^{2}=2\mathrm{i}$，$z^{3}=z^{2}\cdot z=2\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=-2+2\mathrm{i}$，于是 $z^{3}-z^{2}+2=(-2+2\mathrm{i})-2\mathrm{i}+2=0$，确实成立。这与解题无关，但它是检查计算有没有错的一个额外锚点。