7.2.2 复数的乘、除运算

上一节把复数的加减法及其几何意义讲完，这一节把运算推进到乘除。整节只有两招，值得先摆出来：

• 乘法：像多项式相乘那样展开，把 $i^2$ 换成 $-1$，实部虚部分别合并。
• 除法：分子分母同乘分母的共轭复数（课本叫”分母实数化”），把分母变成正实数。

两招之外还有三件事要带走：运算律在复数里照搬实数；共轭复数这个新工具（$z\overline{z} = a^2+b^2$）在化简与解方程里反复出现；以及”负数能开平方了”之后，实系数一元二次方程的图景补全了。

一、乘法：一个动作

课本的乘法法则是这样来的：设 $z_1 = a+bi$、$z_2 = c+di$（$a,b,c,d\in\mathbf{R}$），先像多项式一样乘开，再用 $i^2 = -1$ 合并：

于是两个复数的积是确定的复数（实部虚部都是实数的四则运算结果），而且当 $z_1,z_2$ 都是实数时，按复数乘法算出来的积就是普通的实数积——旧运算没有被推翻，只是被包含。

例 3（课本）：$(1-2i)(3+4i)(-2+i)$。三个因式连乘，先乘前两个：

$(1-2i)(3+4i) = 3+4i-6i-8i^2 = 11-2i,$

$(11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i^2 = -20+15i.$

注意每一步都先把 $i^2$ 换掉再合并——换晚了容易把实部虚部搅在一起。

例 4（课本）示范了两个值得记住的乘法公式（与实数中的乘法公式同形）：

第一式是”平方差公式”在复数里的样子：$(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$——共轭复数相乘，得非负实数 $a^2+b^2$，这恰好就是 $|z|^2$。第二式提醒一个易混点：$(1+i)^2 = 2i$ 是纯虚数，不是 $2$。

二、运算律：照实数搬，不用重背

课本的”思考”问：乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？答案是都满足。理由不需要重新证：乘法的每一步都是多项式乘法的复述（$i^2 \to -1$ 的替换发生在合并系数时，不改变”两个式子相乘再归并同类项”的结构），而多项式的这三条运算律早已确立。写成公式就是（课本第 85 页）：

于是实数的代数变形技巧在复数里全部照用：完全平方、平方差、提取公因式、凑因式。例 3 的连乘就用到了结合律；后面习题里把 $\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)$ 连着算两次、认出它是同一个复数，用的也是这套工具。

顺带还有一个有用的性质（由法则一行的展开即得）：

即积的模等于模的积。它既可以用来验算乘法，也是后面几何题里”模”的运算规则。

三、共轭复数：本节最常用的一招

课本问：若 $z_1, z_2$ 是共轭复数，则 $z_1z_2$ 是一个怎样的数？设 $z = a+bi$，则 $\overline{z} = a-bi$：

共轭对乘积是非负实数 $a^2+b^2$。 这一招的三个用途贯穿全节：

1. 除法分母实数化（下一节）：分母 $c+di$ 乘上 $\overline{c+di}$ 变成 $c^2+d^2$，实数了。
2. 化简与验算：两个因式一旦互为共轭（或”实部相反、虚部相同”这种变体），交叉项直接抵消，积是实数。
3. 解方程：实系数一元二次方程 $\Delta < 0$ 时的两个虚根恰好互为共轭（见第五节）。

四、除法：分母实数化

复数的除法是乘法的逆运算：求一个数 $x$，使 $(c+di)\cdot x = a+bi$。课本走的是更直接的路——先写成

$\frac{a+bi}{c+di},$

再把分子分母同乘分母的共轭复数 $c-di$：

前提必须验：分母 $c+di \neq 0$。复数为零当且仅当实部虚部同时为零，所以 $c+di \neq 0 \Leftrightarrow c^2+d^2 \neq 0$，分母实数化之后分母是正实数，不会出错。

例 5（课本）：$(1+2i) \div (3-4i)$。分母 $3-4i$ 的共轭是 $3+4i$，$|3-4i|^2 = 25$：

两个实用结论可以直接记：

• $\dfrac{1}{i} = -i$（分子分母同乘 $i$，或同乘 $-i$ 都行）；
• $\dfrac{1}{c+di} = \dfrac{c-di}{c^2+d^2}$——倒数就是共轭除以模方。

建议每次做除法都现场”分母实数化”，而不是背 $(ac+bd)/(c^2+d^2)$ 这个公式：少背一个符号易错的公式，多一份”每一步为什么”的把握。

五、复数范围内解实系数一元二次方程

例 6（课本）先解 $x^2+2 = 0$：在实数范围里无解，在复数范围里

$(\sqrt2\,i)^2 = (-\sqrt2\,i)^2 = -2, \qquad x = \pm\sqrt2\,i.$

“负数能开平方了”是本节给方程论带来的唯一新东西，其余照旧。对一般实系数方程 $ax^2+bx+c=0$（$a \neq 0$，$a,b,c\in\mathbf{R}$），配方（课本叫它”根本大法”）：

设 $\Delta = b^2-4ac$，分两种情形：

$\Delta < 0$ 时方程”无实根”，但在复数范围内恰有两个根，且两个根互为共轭：

两个容易丢的地方：一是 $\pm$，二是 $\sqrt{-\Delta}$ 前面的 $i$——把 $\sqrt{-3}$ 直接写成 $\sqrt3$ 是丢了 $i$，把两个共轭虚根写成一个也是丢了 $\pm$。

课本第 89 页的阅读与思考（代数基本定理）把这个图景补完了：任何一元 $n$ 次复系数多项式都能分解成 $n$ 个一次因式的乘积，一元 $n$ 次方程在复数集内恰有 $n$ 个根（重根按重数计）。二次方程只是这个图景的第一个例子——习题里用 $a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)$ 把 $x^2+4$ 分解成 $(x+2i)(x-2i)$，背后就是它。

六、实数系扩充的收尾

课本第 87 页的”思考”问：根据加法和乘法法则，能说明实数系扩充后得到的新数集就是复数集 $\mathbf{C}$ 吗？要点有两条：

1. 封闭性：任意两个复数的和、差、积、商（除数不为 $0$）仍是复数——运算在 $\mathbf{C}$ 里出不去了；
2. 一致性：实数看作复数（虚部为 $0$）时，加减乘除的结果与原来的实数运算一致——旧结果没被推翻。

从”方程 $x^2+1=0$ 有解了”到”运算照旧封闭”，这就是”数系扩充”的两个验收标准。

七、易错清单（按失分频率排）

1. $i^2$ 的负号漏掉。频次最高的一处：$(2+3i)(2-3i) = 4+9 = 13$，丢负号会算成 $-5$。写完对照”共轭对乘积必为非负实数”这个检查点。
2. 除法只乘了分母。分母实数化是分子分母同乘共轭；只乘分母，分子还是原样，答案就错了。
3. 实部虚部合并错。$(a+bi)(c+di)$ 的交叉项 $adi + bci$ 符号记混，结果从 $(ac-bd)+(ad+bc)i$ 偏成 $(ac+bd)+\cdots$。慢一步，四步写完再合并。
4. 解方程丢 $\pm$ 或丢 $i$。$x^2+x+1=0$ 的根是 $\frac{-1\pm\sqrt3\,i}{2}$，漏 $i$ 或漏 $\pm$ 都只剩一半的根。
5. 共轭复数写反。$a+bi$ 的共轭是 $a-bi$；共轭的和 $2a$、积 $a^2+b^2$ 都是实数，这是天然的检查点。
6. $(a+bi)^2$ 与 $a^2+b^2$ 混淆。$(1+i)^2 = 2i$，$|z|^2 = z\overline{z} = a^2+b^2$——两个量根本不是一回事。
7. 分母实数化后不约分。$\frac{25-25i}{25}$ 写成 $25-25i$ 就前功尽弃；除完看一眼分母能不能约。

八、真题怎么读

页面下方的真题清单是这一节的完整考史。按这个顺序做：

1. 2025 年第 1 题：直接乘法求虚部——本节最基本的动作，先做它，练”展开 + $i^2=-1$“的手感；
2. 2023 年第 2 题：共轭复数之差，要用分母实数化——练除法的招牌动作；
3. 2021 与 2022 年第 2 题：复数相等求参数——把左边化成 $a+bi$，实部对实部、虚部对虚部，练”化标准形”；
4. 上限是 2024 年第 2 题：复数分式方程——交叉相乘或代选项，把乘法、分母实数化、复数相等串成一条完整的链。

浙江卷近五年（2021–2025）的复数题都放在第 1 题或第 2 题的位置，是名副其实的”送分题”位置——但也正因为人人都会，化简的准确率才是这一节的决胜点：上面易错清单的前两条，正是这些真题里最常见的失分处。

本节（§7.2.2）课本习题共 9 道：「练习」4 道（第 87 页），加「习题 7.2」里属于本节主题的 5 道 （复习巩固第 3、4 题，综合运用第 6、7 题，拓广探索第 8 题）。习题 7.2 的其余各题考的是 §7.2.1 的 加减运算及其几何意义（复习巩固第 1、2 题，综合运用第 5 题，拓广探索第 9 题），归 §7.2.1 那一节； 第 84 页上 §7.2.1 末尾的那组「练习」同理不属本节；拓广探索第 10 题是开放式的信息技术试验， 无唯一解答，不收。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 87 页）第 1 题

1. 计算：

(1) $(7-6\mathrm{i})(-3\mathrm{i})$ ;

(2) $(3 + 4\mathrm{i})(-2 - 3\mathrm{i})$;

(3) $(1 + 2\mathrm{i})(3 - 4\mathrm{i})(-2 - \mathrm{i})$.

动作：像多项式相乘那样展开，把 $i^2$ 换成 $-1$，再合并实部与虚部。

(1) 展开四项：

$(7-6\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) = -21\mathrm{i} + 18\mathrm{i}^2 = -21\mathrm{i} - 18 = -18 - 21\mathrm{i}.$

(2) 逐项乘开，$i^2 = -1$：

$(3+4\mathrm{i})(-2-3\mathrm{i}) = -6 - 9\mathrm{i} - 8\mathrm{i} - 12\mathrm{i}^2 = -6 - 17\mathrm{i} + 12 = 6 - 17\mathrm{i}.$

(3) 三个因式连乘，先用结合律乘前两个，再乘第三个：

$(1+2\mathrm{i})(3-4\mathrm{i}) = 3 - 4\mathrm{i} + 6\mathrm{i} - 8\mathrm{i}^2 = 11 + 2\mathrm{i},$

自检（用模的乘性，$|z_1z_2| = |z_1|\cdot|z_2|$，展开 $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ 即得）： (1) 的 $|7-6\mathrm{i}|\cdot|-3\mathrm{i}| = \sqrt{85}\times 3$ 与 $|-18-21\mathrm{i}| = \sqrt{765} = 3\sqrt{85}$ 一致； (3) 的 $|1+2\mathrm{i}|\cdot|3-4\mathrm{i}|\cdot|-2-\mathrm{i}| = \sqrt5\times 5\times\sqrt5 = 25$ 与 $|-20-15\mathrm{i}| = 25$ 一致。

练习（第 87 页）第 2 题

2. 计算：

(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{2}\mathrm{i})(-\sqrt{3} + \sqrt{2}\mathrm{i})$;

(2) $(1-i)^{2}$ ;

(3) i(2-i)(1-2i).

动作：先看结构再动手——两因式”虚部相同、实部互为相反数”时交叉项会抵消；两因式互为共轭时积是实数。

(1) 展开，两个 $\sqrt6\,\mathrm{i}$ 项抵消：

这类”实部互为相反数、虚部相同”的两个复数相乘，结果必是实数 $-(a^2+b^2)$（这里是 $-(3+2)$）。

(2) 用完全平方公式 $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：

$(1-\mathrm{i})^2 = 1 - 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1 - 2\mathrm{i} - 1 = -2\mathrm{i}.$

自检：$(1-\mathrm{i})^2$ 的模等于 $|1-\mathrm{i}|^2 = 2$，与 $|-2\mathrm{i}| = 2$ 一致；且 $(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$ 的实部 $1-1 = 0$、虚部 $-1-1 = -2$，得 $-2\mathrm{i}$，相符。

(3) 先算 $\mathrm{i}(2-\mathrm{i})$，得到一对共轭复数再相乘：

$\mathrm{i}(2-\mathrm{i}) = 2\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 1 + 2\mathrm{i},$

$(1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i}) = 1 - 4\mathrm{i}^2 = 1 + 4 = 5.$

自检（换一种结合次序再算一遍）：$(2-\mathrm{i})(1-2\mathrm{i}) = 2 - 4\mathrm{i} - \mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2 = -5\mathrm{i}$，然后 $\mathrm{i}\cdot(-5\mathrm{i}) = -5\mathrm{i}^2 = 5$，两次结合次序结果一致——这正是结合律的用途。

练习（第 87 页）第 3 题

3. 计算：

(1) $\frac{1+i}{1-i};$

(2) $\frac{1}{\mathrm{i}}$;

(3) $\frac{7 + \mathrm{i}}{3 + 4\mathrm{i}}$;

(4) $\frac{(-1 + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{-\mathrm{i}}$.

动作：分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数，把分母变成正实数。 四个分母 $1-\mathrm{i}$、$\mathrm{i}$、$3+4\mathrm{i}$、$-\mathrm{i}$ 都不为零（复数为零当且仅当实部虚部同时为零）， 除法的前提成立。

(1) 分母 $1-\mathrm{i}$ 的共轭是 $1+\mathrm{i}$，$|1-\mathrm{i}|^2 = 1^2+1^2 = 2$：

自检：$\mathrm{i}(1-\mathrm{i}) = \mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 1+\mathrm{i}$，与分子相符。

(2) 分母 $\mathrm{i}$ 的共轭是 $-\mathrm{i}$，分子分母同乘 $-\mathrm{i}$：

$\frac{1}{\mathrm{i}} = \frac{1\cdot(-\mathrm{i})}{\mathrm{i}\cdot(-\mathrm{i})} = \frac{-\mathrm{i}}{1} = -\mathrm{i}.$

等价地，同乘 $\mathrm{i}$ 再换 $\mathrm{i}^2 = -1$ 也行：$\frac{1}{\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2} = \frac{\mathrm{i}}{-1} = -\mathrm{i}$。记住结论：除以 $\mathrm{i}$ 等于乘 $-\mathrm{i}$。

(3) 分母 $3+4\mathrm{i}$ 的共轭是 $3-4\mathrm{i}$，$|3+4\mathrm{i}|^2 = 9+16 = 25$：

自检：$(1-\mathrm{i})(3+4\mathrm{i}) = 3 + 4\mathrm{i} - 3\mathrm{i} - 4\mathrm{i}^2 = 7 + \mathrm{i}$，相符。

(4) 先化简分子：$(-1+\mathrm{i})(2+\mathrm{i}) = -2 - \mathrm{i} + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = -3 + \mathrm{i}$。 分母 $-\mathrm{i}$ 的共轭是 $\mathrm{i}$，分子分母同乘 $\mathrm{i}$：

自检：$(-1-3\mathrm{i})(-\mathrm{i}) = \mathrm{i} + 3\mathrm{i}^2 = -3 + \mathrm{i}$，与化简后的分子相符。

练习（第 87 页）第 4 题

4. 在复数范围内解下列方程:

(1) $9x^{2}+16=0;$

(2) $x^{2}+x+1=0.$

动作：在复数范围内，负实数也能开平方了——$x^2 = -a^2$（$a > 0$）的解是 $x = \pm a\mathrm{i}$。 判别式 $\Delta < 0$ 不再是”无解”，而是”有两个共轭虚根”。

(1) 移项、开平方，$\pm$ 不能丢：

$9x^2 = -16, \qquad x^2 = -\frac{16}{9}, \qquad x = \pm\frac{4}{3}\mathrm{i}.$

自检：$\left(\pm\frac43\mathrm{i}\right)^2 = \frac{16}{9}\mathrm{i}^2 = -\frac{16}{9}$，代回 $9x^2 + 16 = 0$ 成立。

(2) $a = 1, b = 1, c = 1$，判别式

$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0,$

无实根。用复数范围的求根公式（$\Delta < 0$ 的情形，课本第 86 页）：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{-\Delta}\,\mathrm{i}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,\mathrm{i}}{2}.$

两个根 $\frac{-1+\sqrt3\,\mathrm{i}}{2}$ 与 $\frac{-1-\sqrt3\,\mathrm{i}}{2}$ 互为共轭。 自检（取 $x = \frac{-1+\sqrt3\,\mathrm{i}}{2}$ 回代）：$x^2 = \frac{1 - 2\sqrt3\,\mathrm{i} - 3}{4} = \frac{-2-2\sqrt3\,\mathrm{i}}{4}$， 于是 $x^2 + x + 1 = \frac{(-2-2\sqrt3\,\mathrm{i}) + (-2+2\sqrt3\,\mathrm{i}) + 4}{4} = 0$，成立；另一根同理。

习题 7.2 第 3 题

3. 计算：

(1) $(-8-7i)(-3i)$ ;

(2) $(4-3i)(-5-4i)$ ;

(3) $\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(1+i)$ ;

(4) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} - \frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right);$

(5) $(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i}) + (-1 + \mathrm{i})$.

动作：前两问直接乘开；(3)(4) 认出两个因式里有一个共同复数 $\omega = -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}$，能省不少展开；(5) 是”共轭对 + 常数”的混合运算。

(1)

$(-8-7\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) = 24\mathrm{i} + 21\mathrm{i}^2 = 24\mathrm{i} - 21 = -21 + 24\mathrm{i}.$

(2)

$(4-3\mathrm{i})(-5-4\mathrm{i}) = -20 - 16\mathrm{i} + 15\mathrm{i} + 12\mathrm{i}^2 = -32 - \mathrm{i}.$

(3) 直接展开：

(4) 注意 $\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i} - \frac12 = -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}$，两个因式是同一个复数 $\omega$， 本问就是 $\omega^2$，用完全平方公式：

多走一步：$\omega^2 = -\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i} = \overline{\omega}$，而 $\omega\overline{\omega} = \frac14 + \frac34 = 1$，所以 $\omega^3 = \omega\cdot\omega^2 = 1$——$\omega$ 是三次单位根。 (5) 先算共轭对的乘积 $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}^2 = 2$，再加 $(-1+\mathrm{i})$：

$2 + (-1+\mathrm{i}) = 1 + \mathrm{i}.$

习题 7.2 第 4 题

4. 计算： (1) $\frac{2i}{2-i}$ ; (2) $\frac{2+i}{7+4i}$ ; (3) $\frac{1}{(2-i)^{2}}$ ; (4) $\frac{5(4+i)^{2}}{i(2+i)}$ .

动作：每题都是分母实数化；其中 (3)(4) 先把分母、分子各自化简成一个复数，再做除法。 各分母非零：$2-\mathrm{i} \neq 0$；$7+4\mathrm{i} \neq 0$；$(2-\mathrm{i})^2 = 3-4\mathrm{i} \neq 0$； $\mathrm{i}(2+\mathrm{i}) = -1+2\mathrm{i} \neq 0$。

(1) 分母 $2-\mathrm{i}$ 的共轭是 $2+\mathrm{i}$，$|2-\mathrm{i}|^2 = 5$：

$\frac{2\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}} = \frac{2\mathrm{i}(2+\mathrm{i})}{5} = \frac{4\mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2}{5} = \frac{-2+4\mathrm{i}}{5} = -\frac25 + \frac45\mathrm{i}.$

(2) 分母 $7+4\mathrm{i}$ 的共轭是 $7-4\mathrm{i}$，$|7+4\mathrm{i}|^2 = 49+16 = 65$：

$\frac{2+\mathrm{i}}{7+4\mathrm{i}} = \frac{(2+\mathrm{i})(7-4\mathrm{i})}{65} = \frac{14 - 8\mathrm{i} + 7\mathrm{i} - 4\mathrm{i}^2}{65} = \frac{18-\mathrm{i}}{65} = \frac{18}{65} - \frac{1}{65}\mathrm{i}.$

(3) 分母是平方，先展开：$(2-\mathrm{i})^2 = 4 - 4\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 3-4\mathrm{i}$，再分母实数化（$|3-4\mathrm{i}|^2 = 9+16 = 25$）：

$\frac{1}{(2-\mathrm{i})^2} = \frac{1}{3-4\mathrm{i}} = \frac{3+4\mathrm{i}}{25}.$

(4) 分子分母分别化简：$(4+\mathrm{i})^2 = 16 + 8\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 15+8\mathrm{i}$，分子 $= 5(15+8\mathrm{i}) = 75+40\mathrm{i}$； 分母 $\mathrm{i}(2+\mathrm{i}) = 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = -1+2\mathrm{i}$。分母 $-1+2\mathrm{i}$ 的共轭是 $-1-2\mathrm{i}$，$|-1+2\mathrm{i}|^2 = 1+4 = 5$：

$\frac{75+40\mathrm{i}}{-1+2\mathrm{i}} = \frac{(75+40\mathrm{i})(-1-2\mathrm{i})}{5} = \frac{-75 - 150\mathrm{i} - 40\mathrm{i} - 80\mathrm{i}^2}{5} = \frac{5-190\mathrm{i}}{5} = 1 - 38\mathrm{i}.$

自检（(4)）：$(-1+2\mathrm{i})(1-38\mathrm{i}) = -1 + 38\mathrm{i} + 2\mathrm{i} - 76\mathrm{i}^2 = 75 + 40\mathrm{i}$，与化简后的分子相符。

习题 7.2 第 6 题

6. 在复数范围内解下列方程： (1) $x^{2}+4x+5=0;$ (2) $2x^{2}-3x+4=0.$

动作：先算判别式 $\Delta$；$\Delta < 0$ 时用复数范围的求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{-\Delta}\,\mathrm{i}}{2a}$，两个根是一对共轭虚根。

(1) $a = 1, b = 4, c = 5$：$\Delta = 4^2 - 4\times1\times5 = 16 - 20 = -4 < 0$，于是

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}\,\mathrm{i}}{2} = \frac{-4 \pm 2\mathrm{i}}{2} = -2 \pm \mathrm{i}.$

自检：$(-2+\mathrm{i})^2 + 4(-2+\mathrm{i}) + 5 = (3-4\mathrm{i}) + (-8+4\mathrm{i}) + 5 = 0$，成立；另一根 $-2-\mathrm{i}$ 是其共轭，同理。

(2) $a = 2, b = -3, c = 4$：$\Delta = (-3)^2 - 4\times2\times4 = 9 - 32 = -23 < 0$，于是

$x = \frac{3 \pm \sqrt{23}\,\mathrm{i}}{4}.$

自检（取 $x = \frac{3+\sqrt{23}\,\mathrm{i}}{4}$ 回代）：$2x^2 = 2\cdot\frac{9 + 6\sqrt{23}\,\mathrm{i} - 23}{16} = \frac{-14+6\sqrt{23}\,\mathrm{i}}{8} = \frac{-7+3\sqrt{23}\,\mathrm{i}}{4}$， 于是 $2x^2 - 3x + 4 = \frac{(-7+3\sqrt{23}\,\mathrm{i}) - (9+3\sqrt{23}\,\mathrm{i})}{4} + 4 = \frac{-16}{4} + 4 = 0$，成立。

习题 7.2 第 7 题

7. 已知 $2\mathrm{i} - 3$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^{2} + px + q = 0$ 的一个根，求实数 $p, q$ 的值.

动作：把根代进方程，用复数相等的充要条件（实部对实部、虚部对虚部）解出 $p, q$。 前提：$p, q$ 是实数，故方程是实系数方程；$2\mathrm{i}-3 = -3+2\mathrm{i}$ 是它的一个根。

把 $x = -3+2\mathrm{i}$ 代入 $2x^2 + px + q = 0$，先算平方：

$(-3+2\mathrm{i})^2 = 9 - 12\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2 = 9 - 12\mathrm{i} - 4 = 5 - 12\mathrm{i},$

于是

$2(5-12\mathrm{i}) + p(-3+2\mathrm{i}) + q = 0,$

$(10 - 3p + q) + (-24 + 2p)\mathrm{i} = 0.$

等式右边的 $0$ 的实部虚部都是 $0$，故

$-24 + 2p = 0 \Rightarrow p = 12, \qquad 10 - 3p + q = 0 \Rightarrow q = 3p - 10 = 26.$

自检：把 $p = 12, q = 26$ 代回，方程 $2x^2 + 12x + 26 = 0$，$\Delta = 144 - 208 = -64 < 0$，求根公式给出 $x = \frac{-12 \pm 8\mathrm{i}}{4} = -3 \pm 2\mathrm{i}$，确实以 $-3+2\mathrm{i} = 2\mathrm{i}-3$ 为根。

多走一步（共轭虚根 + 韦达定理）：实系数二次方程的虚根成对出现且互为共轭（$\Delta < 0$ 时求根公式给出的两个根就是共轭的），所以另一根是 $-3-2\mathrm{i}$。两根之和、两根之积（课本第 89 页阅读与思考给出的根与系数关系）给出

$(-3+2\mathrm{i}) + (-3-2\mathrm{i}) = -6 = -\frac{p}{2} \Rightarrow p = 12,$

$(-3+2\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i}) = 9 + 4 = 13 = \frac{q}{2} \Rightarrow q = 26.$

两条路同解。第二条路里 $(-3+2\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i}) = 9+4 = 13$ 正是共轭对乘积等于 $a^2+b^2$——本节最常用的一招。

习题 7.2 第 8 题

8. 利用公式 $a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)$，把下列各式分解成一次因式的积：(1) $x^2 + 4$；(2) $a^4 - b^4$。

动作：公式 $a^2+b^2 = (a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})$ 就是”共轭对乘积”——在复数范围内，平方和终于也能分解成一次因式的积了。

(1) $x^2 + 4 = x^2 + 2^2$，套公式（$a = x, b = 2$）：

$x^2 + 4 = (x + 2\mathrm{i})(x - 2\mathrm{i}).$

展开验证：$(x+2\mathrm{i})(x-2\mathrm{i}) = x^2 - 4\mathrm{i}^2 = x^2 + 4$，相符。

(2) 先对 $a^4 - b^4$ 用平方差拆出平方和，再对平方和用本题的公式：

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a-b)(a+b)(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i}).$

四个一次因式：两个实数因子 $a-b$、$a+b$，一对共轭复数因子 $a+b\mathrm{i}$、$a-b\mathrm{i}$。 展开验证：$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$，$(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i}) = a^2+b^2$，两者相乘 $(a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4$，相符。

这也呼应第 89 页阅读与思考里的代数基本定理：任何一元 $n$ 次复系数多项式都能分解成 $n$ 个一次因式的乘积——本小题就是把四次多项式 $a^4-b^4$ 拆成了 4 个一次因式。