7.1.2 复数的几何意义

文字转写

(2) 当 $m-1 \neq 0$ ，即 $m \neq 1$ 时，复数 z 是虚数.

(3) 当 $m+1=0$ ，且 $m-1 \neq 0$ ，即 m=-1 时，复数 z 是纯虚数.

练习

1. 说出下列复数的实部和虚部：

$- 2 + \frac {1}{3} \mathrm{i}, \sqrt {2} + \mathrm{i}, \frac {\sqrt {2}}{2}, - \sqrt {3} \mathrm{i}, \mathrm{i}, 0.$

2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？

$2 + \sqrt {7}, 0. 6 1 8, \frac {2}{7} \mathrm{i}, 0, \mathrm{i}, 5 \mathrm{i} + 8, 3 - 9 \sqrt {2} \mathrm{i}, \mathrm{i} (1 - \sqrt {3}), \sqrt {2} - \sqrt {2} \mathrm{i}.$

3. 求满足下列条件的实数 $x, y$ 的值：

$(x + y) + (y - 1) \mathrm{i} = (2 x + 3 y) + (2 y + 1) \mathrm{i}; \quad (2) (x + y - 3) + (x - 2) \mathrm{i} = 0.$

7.1.2 复数的几何意义

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 复数有什么几何意义呢？

思考

根据复数相等的定义，任何一个复数 $z = a + bi$ 都可以由一个有序实数对 $(a, b)$ 唯一确定；反之也对。由此你能想到复数的几何表示方法吗？

因为任何一个复数 $z=a+bi$ 都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数 $z=a+bi$ 与有序实数对（a，b）是一一对应的。而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。

如图 7.1-2，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 $z = a + bi$ 可用点 $Z(a, b)$ 表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

图 7.1-2

例如，复平面内的原点（0，0）表示实数0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示复数 $-2+3i$ 等.

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系

$\text {复数} z = a + b \mathrm{i} \xleftarrow {\text {一一对应}} \text {复平面内的点} Z (a, b)$

这是复数的一种几何意义.

思考

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的。你能用平面向量来表示复数吗？

如图 7.1-3，设复平面内的点 Z 表示复数 $z = a + bi$ ，连接 OZ，显然向量 $\overrightarrow{OZ}$ 由点 Z 唯一确定；反过来，点 Z 也可以由向量 $\overrightarrow{OZ}$ 唯一确定。因此，复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数 0 与零向量对应），即

$\text {复数} z = a + b \mathrm{i} \xleftarrow {\text {一一对应}} \text {平面向量} \overrightarrow {O Z}$

• •

这是复数的另一种几何意义.

为方便起见，我们常把复数 $z=a+bi$ 说成点 Z 或说成向量 $\overrightarrow{OZ}$ ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.

在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的。后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图（Argand diagram）。正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面纱”，确立了复数在数学中的地位。

图 7.1-3 中向量 $\overline{OZ}$ 的模叫做复数 $z = a + bi$ 的模（modulus of a complex number）或绝对值，记作 $|z|$ 或 $|a + bi|$ ．即

$| z | = | a + b \mathrm{i} | = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}},$

其中 $a, b \in R.$

如果 $b = 0$ ，那么 $z = a + b\mathrm{i}$ 是一个实数 $a$ ，它的模就等于 $\mid a\mid$ （$a$ 的绝对值）.

例 2 设复数 $z_{1}=4+3i,\quad z_{2}=4-3i.$

(1) 在复平面内画出复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点和向量；

(2) 求复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的模，并比较它们的模的大小.

解：（1）如图7.1-4，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ_1},\overrightarrow{OZ_2}.$

点 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ 有怎样的关系？

(2) $|z_{1}|=|4+3i|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5,$

$\mid z _ {2} \mid = \mid 4 - 3 \mathrm{i} \mid = \sqrt {4 ^ {2} + (- 3) ^ {2}} = 5.$

所以 $|z_{1}| = |z_{2}|$

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugate complex number). 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数 $z$ 的共轭复数用 $\bar{z}$ 表示，即如果 $z = a + bi$，那么 $\bar{z} = a - bi$.

思考

如果 $z_{1}$，$z_{2}$ 是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？

例3 设 $z \in \mathbf{C}$，在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$，那么满足下列条件的点 $Z$ 的集合是什么图形？

(1) $|z| = 1$; (2) $1 < |z| < 2$.

解：（1）由 $|z| = 1$ 得，向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的模等于1，所以满足条件 $|z| = 1$ 的点 $Z$ 的集合是以原点 $O$ 为圆心，以1为半径的圆.

(2) 不等式 $1 < |z| < 2$ 可化为不等式 $\left\{\begin{aligned}|z| & < 2, \\ |z| & > 1.\end{aligned}\right.$

不等式 $|z| < 2$ 的解集是圆 $|z| = 2$ 的内部所有的点组成的集合，不等式 $|z| > 1$ 的解集是圆 $|z| = 1$ 外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件 $1 < |z| < 2$ 的点 $Z$ 的集合。容易看出，所求的集合是以原点 $O$ 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）。

练习

1. 说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）.

2. 在复平面内，描出表示下列复数的点： (1) $2+5i$ ; (2) $-3+2i$ ; (3) 2-4i; (4) -3-i; (5) 5; (6) -3i.

3. 已知复数 $2 + \mathrm{i}, -2 + 4\mathrm{i}, -2\mathrm{i}, 4, \frac{3}{2} - 4\mathrm{i}$,

(1) 在复平面内画出这些复数对应的向量；

(2) 求这些复数的模.

习题7.1

复习巩固

1. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.

(1) 实部为 $-\sqrt{2}$ 的虚数；

(2) 虚部为 $-\sqrt{2}$ 的虚数；

(3) 虚部为 $-\sqrt{2}$ 的纯虚数.

2. 当实数 $m$ 取什么值时，复数 $(m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 3m)\mathrm{i}$ 是下列数？

(1) 实数;

(2) 虚数;

(3) 纯虚数.

3. 求适合下列方程的实数 $x$ 与 $y$ 的值：(1) $(3x + 2y) + (5x - y)\mathrm{i} = 17 - 2\mathrm{i}$; (2) $(x + y - 3) + (x - 4)\mathrm{i} = 0$.

4. 如果 P 是复平面内表示复数 $a + bi (a, b \in \mathbb{R})$ 的点，分别指出在下列条件下点 P 的位置. (1) a > 0, b > 0; (2) a < 0, b > 0; (3) $a=0, b\leqslant0;$ (4) b<0.

5. 求复数 $z_{1} = 3 + 4\mathrm{i}$ 及 $z_{2} = \frac{1}{2} -\sqrt{2}\mathrm{i}$ 的模，并比较它们的模的大小.

综合运用

6. 当实数 $m$ 取什么值时，复平面内表示复数 $z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 - 5m - 14)\mathrm{i}$ 的点分别满足下列条件？

(1) 位于第四象限；

(2) 位于第一象限或第三象限；

(3) 位于直线 y = x 上.

7. 在复平面内，O 是原点，向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应的复数是 $2+i$ .

（1）如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量 $\overrightarrow{OB}$ 对应的复数；

(2) 如果 (1) 中点 $B$ 关于虚轴的对称点为点 $C$, 求点 $C$ 对应的复数.

8. 设 $z \in C$ ，在复平面内 z 对应的点为 Z，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ (1) $|z| = 3;$ (2) $2 \leqslant |z| < 5.$

9. 如果复数 $z$ 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数 $z$ 对应的点应位于怎样的图形上？

拓广探索

10. 已知复数 $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$，在复平面内复数 $z$ 对应的向量的模为 2，求这个复数 $z$.

11. 在复平面内指出与复数 $z_{1} = 1 + 2\mathrm{i}$，$z_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\mathrm{i}$，$z_{3} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\mathrm{i}$，$z_{4} = -2 + \mathrm{i}$ 对应的点 $Z_{1}$，$Z_{2}$，$Z_{3}$，$Z_{4}$. 判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.