复数的模

教材原文

图 7.1-3 中向量 $\overline{OZ}$ 的模叫做复数 $z = a + bi$ 的模（modulus of a complex number）或绝对值，记作 $|z|$ 或 $|a + bi|$ ．即

$| z | = | a + b \mathrm{i} | = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}},$

其中 $a, b \in R.$

如果 $b = 0$ ，那么 $z = a + b\mathrm{i}$ 是一个实数 $a$ ，它的模就等于 $\mid a\mid$ （$a$ 的绝对值）.

要点

模是长度，所以它一定是非负实数——不管 $z$ 多「虚」，$|z|$ 都是一个实数，且 $|z|=0$ 只在 $z=0$ 时发生。 算它只需要实部与虚部两个实数：$|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。故求模的第一件事永远是 把 $z$ 化成 $a+b\mathrm{i}$ 的标准模样，确认 $a,b$ 都是实数，再开平方。

模把复数的乘除运算变得特别听话：因为乘法在几何上是「转角度 $+$ 伸缩长度」，所以

这三条常常让人不必真的把商算出来：要 $\left|\frac{1}{1+\mathrm{i}}\right|$，直接写成 $\frac{1}{|1+\mathrm{i}|}$ 就完了。 另外两条常用的等式：$|z|=|\bar z|$（取共轭只是关于实轴翻折，长度不变）、 $z\bar z=|z|^{2}$（这一条把「模」与「乘法」接上，是分母实数化的根据）。

但加法不听话：$|z_{1}+z_{2}|$ 一般不等于 $|z_{1}|+|z_{2}|$，只有三角形不等式 $|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|$，取等要两个向量同向。看见「模」就往乘除性质上套、 把它套到和差上去，是这一块最常见的翻车点。

几何上，$|z|=r$ 是以原点为心、$r$ 为半径的圆，$|z-z_{0}|=r$ 是以 $z_{0}$ 为心的圆—— 凡是含模的方程与最值问题，先在复平面上把它读成距离，往往一眼就看穿。