先取模再运算

解题套路

只有求「模」时才能这么走，前提是表达式只由乘、除、乘方搭起来：

1. 看清结构：把所求写成 $\dfrac{z_1z_2\cdots}{w_1w_2\cdots}$ 的样子（乘、除、幂，不许有加减）。
2. 逐块取模：每一块单独求模，都是非负实数，$|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
3. 照原样运算：乘的地方乘、除的地方除、$n$ 次幂就 $n$ 次幂—— $|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|$，$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$，$|z^{n}|=|z|^{n}$。
4. 不必回头算原式：整个过程只出现实数，分母实数化那一步直接省掉。

边界

• 加减不能这么拆：$|z_1+z_2|\neq|z_1|+|z_2|$（只有 $\leq$，且要同向才取等）。 表达式里一旦有加减，那部分必须先合并成 $a+b\mathrm{i}$ 再取模—— 比如 $\left|\dfrac{1+2\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}\right|$ 可以拆成 $\dfrac{|1+2\mathrm{i}|}{|3-\mathrm{i}|}$， 但 $|1+2\mathrm{i}|$ 本身只能老实开平方。
• 只问模才划算：若题目还要实部、虚部或共轭，那就绕不开分母实数化，本套路省不下那一步。
• 顺带记两条同源的：$|\bar z|=|z|$、$z\bar z=|z|^{2}$。