浙江 2011 · 数学 q02

冷启动：把记号先读准

题面给的是

$$z=1+\mathrm{i},\qquad (1+z)\cdot\bar z=?$$

四个选项：A．$3-\mathrm{i}$；B．$3+\mathrm{i}$；C．$1+3\mathrm{i}$；D．$3$。

转写里这道题被 OCR 揉得比较碎：共轭记号成了 $: {\overline{{Z}}} ,$，四个选项挤在一行， 解析里 $(1+z)$ 还被读成了 $(1+2)$。上面这些是照原卷扫描件复原的， 同目录的 q02-fix.md 里已经改正。

先把 $\bar z$ 写出来，别在脑子里过。 $z$ 上面那一横叫共轭，规矩只有一句： 实部原封不动，虚部变号。所以

$$z=1+\mathrm{i}\ \Longrightarrow\ \bar z=1-\mathrm{i}.$$

不是 $-1+\mathrm{i}$（那是把实部也翻了），也不是 $-1-\mathrm{i}$（那是 $-z$）。 这一步写错，后面全白算——而四个选项里恰好埋着「共轭取错」的成品，下面会看到。

再把 $1+z$ 也算出来。 括号里那个 $1$ 是实数，只加在实部上：

$$1+z=1+(1+\mathrm{i})=2+\mathrm{i}.$$

最后看清要算什么：$(1+z)$ 与 $\bar z$ 相乘。 两个因子长得像，但一个带共轭、一个不带， 位置也不同——共轭挂在右边那个孤零零的 $z$ 上，没有挂在 $1+z$ 上。 这句话是本题唯一的坑，B 选项就是给「把共轭挂错地方」的人准备的。

解法一：直接展开——先把 $1+z$ 与 $\bar z$ 各算出来，再按乘法法则乘开

两个因子都已经是 $a+b\mathrm{i}$ 的样子，剩下的就是像两个一次式相乘那样展开， 四项一项都别漏：

$$(2+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) =\underbrace{2\times 1}_{2} +\underbrace{2\times(-\mathrm{i})}_{-2\mathrm{i}} +\underbrace{\mathrm{i}\times 1}_{+\mathrm{i}} +\underbrace{\mathrm{i}\times(-\mathrm{i})}_{-\mathrm{i}^{2}} .$$

最后一步是本题唯一要动脑的地方：$\mathrm{i}^{2}=-1$，所以 $-\mathrm{i}^{2}=+1$。 合并：

$$2-2\mathrm{i}+\mathrm{i}+1=3-\mathrm{i} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{A}}$$

中间那两项别漏。 复数相乘不是「实部乘实部、虚部乘虚部」——那样算出来是 $2+1=3$， 正好落进 D 选项。D 就是给漏掉两个交叉项的人准备的。

解法二：先拆分配律——$(1+z)\bar z=\bar z+z\bar z$，后一项是实数

上一条路要做四次乘法。其实可以一次乘法都不做。

先别急着把 $1+z$ 算成 $2+\mathrm{i}$，而是把括号拆开：

$$(1+z)\bar z=1\cdot\bar z+z\cdot\bar z=\bar z+z\bar z .$$

关键在第二项。 $z\bar z$ 不是一个普通的乘积，它有个名字：

$$z\bar z=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=a^{2}+b^{2}=|z|^{2} .$$

也就是说，一个复数乘它自己的共轭，结果一定是个实数——就是模的平方。 本题里 $|z|^{2}=1^{2}+1^{2}=2$。于是

$$(1+z)\bar z=\bar z+|z|^{2}=(1-\mathrm{i})+2=3-\mathrm{i} .$$

整条路只有一次实部相加。 没有展开、没有交叉项、没有 $\mathrm{i}^{2}$—— 那三个最容易出错的地方全被绕过去了。

这一步在图上长什么样。 加一个实数，在复平面上就是「水平往右挪那么多格」， 上下不动。所以从 $\bar z$ 所在的点 $(1,-1)$ 往右挪 $2$ 格，就到了 $(3,-1)$， 读出来正是 $3-\mathrm{i}$。教学图左上那支绿箭头画的就是这一挪。

什么时候该想到这条路。 只要式子里同时出现 $z$ 与 $\bar z$，就先找一找它们能不能凑成 $z\bar z$——凑得出来，那一块立刻变成实数，剩下的往往就是加减法了。

解法三：根本不乘出来——模相乘、辐角相加，只看结果落在哪个象限

这是选择题，四个选项摆在那里。那就不必求出这个复数，只要找出一条只有一个选项通得过的性质。

第一道筛子：模。 模对乘法是可以分开算的（$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$），所以

$$\bigl|(1+z)\bar z\bigr|=|2+\mathrm{i}|\cdot|1-\mathrm{i}|=\sqrt5\cdot\sqrt2=\sqrt{10} .$$

四项的模：$|3-\mathrm{i}|=\sqrt{10}$、$|3+\mathrm{i}|=\sqrt{10}$、$|1+3\mathrm{i}|=\sqrt{10}$、$|3|=3$。 只刷掉 D。（三个模相同不是巧合——B 是 A 的共轭，C 又是 B 把实部与虚部对调； 这两种变换都不改模。出题人特意让它们模相等，好让「只算模」这一招不够用。）

第二道筛子：虚部的正负。 乘法在复平面上是「模相乘、辐角相加」，所以只要判断辐角落在哪儿：

• $1+z=2+\mathrm{i}$ 在第一象限，而且虚部 $1$ 小于实部 $2$，所以它的辐角严格在 $0^{\circ}$ 与 $45^{\circ}$ 之间；
• $\bar z=1-\mathrm{i}$ 的实部与虚部大小相等、一正一负，所以它的辐角恰好是 $-45^{\circ}$。

两个辐角相加，落在 $(-45^{\circ},\,0^{\circ})$ 里——严格为负，且没到 $-45^{\circ}$。 于是乘积落在第四象限：实部为正、虚部为负。

四个选项里虚部为负的只有 A（$3-\mathrm{i}$）；B 与 C 的虚部为正，D 的虚部是 $0$（它就是个实数，辐角为 $0^{\circ}$， 与「严格为负」矛盾）。单这一条就把三项全刷掉了，选 A。

这条路的价值不在快（它其实不比解法二快），在于它换了个角度看乘法： 复数相乘干的两件事是「长度相乘」与「转角相加」。记住这一点， 以后遇到「乘完落在第几象限」「乘 $\mathrm{i}$ 相当于做什么」这类问题就是一眼的事 （乘 $\mathrm{i}$ 就是逆时针转 $90^{\circ}$）。

三个提醒

1. 共轭只翻虚部，而且要看清它挂在谁头上。 $\bar z=1-\mathrm{i}$，实部那个 $1$ 不动。 本题里共轭挂在右边那个 $z$ 上，$1+z$ 是不带共轭的。 若把共轭挪到 $1+z$ 上去算 $(1+\bar z)z$，得到的是 $3+\mathrm{i}$——恰好是正确答案的共轭， 也恰好是 B 选项。选项表里能同时看见 $3-\mathrm{i}$ 与 $3+\mathrm{i}$ 时， 基本可以断定其中一个就是「共轭挂错位置」的产物，这时更要回头核一遍题面。

2. 展开时四项都要写。 $-\mathrm{i}^{2}$ 是 $+1$ 不是 $-1$；两个交叉项 $-2\mathrm{i}$ 与 $+\mathrm{i}$ 合并成 $-\mathrm{i}$，漏掉它们就得到 D 的那个 $3$。写的时候宁可多写一行把四项摊开。

3. 看见 $z$ 与 $\bar z$ 同时出现，先想 $z\bar z=|z|^{2}$。 这是复数题里回报最高的一条反射： 它把一个乘法直接变成一个实数。同源的还有 $z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)$（实数）与 $z-\bar z=2\operatorname{Im}(z)\mathrm{i}$（纯虚数）——三条一起记， 凡是「$z$ 与 $\bar z$ 对称出现」的式子都能当场塌成实数。