浙江 2013 · 数学 q01

冷启动：整道题只有一个动作，但那个动作里藏着一处符号

题面短到没有任何遮掩：

$$i\ \text{是虚数单位，求}\ (-1+i)(2-i) .$$

复数乘法就是多项式乘法——括号拆开、四项相加、同类项合并。全部的新东西只有一条：

$$i^{2}=-1 .$$

把四项一项一项摆出来，就能看见这条规矩到底在哪一步起作用：

最后一行是这道题的全部内容。 前三项照搬多项式乘法就对了；只有第四项，两个虚的乘完之后 $i$ 没了，结果落回实部——而且落回去的时候还带着一个由 $i^{2}=-1$ 贡献的负号。

一般地，$(a+bi)(c+di)$ 的实部是 $ac-bd$：那个 $-bd$ 就是「两个虚部相乘掉回实部」， 减号就是 $i^{2}=-1$。复数乘法与多项式乘法的差别，全部集中在这一个减号上。

于是这道题真正要你做对的事只有两件：四项一个都不能漏，以及第四项的符号不能取反。 巧的是，这道题的四个选项正好把这两件事的四种组合摆齐了——最后一节会把这张对照表拆开看。

解法一：四项逐个展开，$\mathrm{i}^{2}$ 当场换成 $-1$

第一步：拆括号，一项都不漏

前一个括号里的每一项，都要乘后一个括号里的每一项，一共 $2\times 2=4$ 项：

$$(-1+i)(2-i)=(-1)\cdot 2+(-1)\cdot(-i)+i\cdot 2+i\cdot(-i) .$$

这四项的写法要固定下来。 心算跳过其中一项是本题最常见的失手，而漏掉的多半是 第三项 $i\cdot 2$——它夹在中间，前后两项都长得更「显眼」。

第二步：$i^{2}$ 出现在哪一行，就在哪一行换掉

$$(-1)\cdot 2=-2,\qquad (-1)\cdot(-i)=i,\qquad i\cdot 2=2i,\qquad i\cdot(-i)=-i^{2}=-(-1)=+1 .$$

第四项那两步不要合成一步写。$i\cdot(-i)$ 先得到 $-i^{2}$，再把 $i^{2}$ 换成 $-1$， 于是负负得正，结果是 $+1$。一旦把 $i^{2}$ 留到下一行去，它就很容易被当成一个普通的平方项抄过去。

第三步：实部归实部，虚部归虚部

$$-2+i+2i+1=(-2+1)+(1+2)i=-1+3i .$$ $$\boxed{(-1+i)(2-i)=-1+3i\ \Rightarrow\ \text{选 B}}$$

同一条路的公式写法

把上面三步收成一行，就是课本的乘法法则：

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i .$$

这里 $a=-1$、$b=1$、$c=2$、$d=-1$，于是

$$\text{实部}=ac-bd=(-1)\cdot 2-1\cdot(-1)=-2+1=-1,\qquad \text{虚部}=ad+bc=(-1)\cdot(-1)+1\cdot 2=1+2=3 .$$

同样得到 $-1+3i$。

这不是第二条解法，是同一条路的另一种记账方式：公式里那个 $-bd$ 就是第四项， 减号就是 $i^{2}=-1$——差别只在于，套公式的人不必再写一次 $i^{2}$，符号已经被公式替他取好了。 代价是一旦把公式记成 $ac+bd$，错得静悄悄，连一个可以停下来检查的中间量都没有。 没背熟的时候老实拆四项，背熟了再用公式。

解法二：先用模筛掉两个，再定一个系数

怎么会想到用模

上一条路把答案整个算了出来。可这是选择题——正确答案已经在四个选项里了， 我们要做的其实只是「把另外三个否掉」。那就该找一条正确答案必然满足、又好在选项上验的性质。

复数的模就是这样一条：它对乘法是可分配的，

$$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}| ,$$

于是不必先把乘积算出来，就能知道乘积的模。而模在选项上验起来只是一次「平方和」， 比重算一遍乘法安全得多。

第一步：不动乘法，先把模算出来

$$|-1+i|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt2,\qquad |2-i|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt5 ,$$ $$|z|=|-1+i|\cdot|2-i|=\sqrt2\cdot\sqrt5=\sqrt{10} .$$

一路用平方来比更省事：$|z|^{2}=2\times 5=10$，全程没有根号。

第二步：四个选项各算一次平方和

$$|-3+i|^{2}=9+1=10,\qquad |-1+3i|^{2}=1+9=10,$$ $$|-3+3i|^{2}=9+9=18,\qquad |-1+i|^{2}=1+1=2 .$$

C 的模平方是 $18$、D 的是 $2$，都不等于 $10$，当场出局。

图上有两件事值得停一下：

• C 与 D 跟原点在同一条直线上。 那是因为 $-1+i$ 与 $-3+3i$ 只差一个正实数倍：$C=3D$。 更巧的是 $D=-1+i$ 就是第一个因数本身——出题人把「忘了乘」的那种失手也摆成了一个选项。
• A 与 B 关于那条点划线互为镜像。 $(-3,1)$ 与 $(-1,3)$ 只是把实部与虚部的绝对值对调了一下， 而模只认平方和，对调之后平方和不变。所以模这把筛子对 A、B 天生是瞎的， 再算十遍模也分不开它们。

第三步：只算一个系数就够了

A 与 B 的实部一个是 $-3$、一个是 $-1$，那就只把实部算出来。按乘法法则，实部是

$$ac-bd=(-1)\cdot 2-1\cdot(-1)=-2+1=-1 .$$

$-1\neq -3$，A 出局。四个选项去掉三个，只剩

$$\boxed{\text{选 B}}$$

（换成只算虚部也一样：$ad+bc=1+2=3$，与 A 的虚部 $1$ 不符，同样把 A 否掉。 两个系数任取其一即可，不必两个都算。）

说句实话：这条路不比解法一快

数一数动作就知道了——解法一是四次乘法加一次合并；这条路是两次平方和、四次平方和、 再加半次乘法，动作反而更多。

它的价值不在快，在独立。 模是从平方和来的，乘法法则是从展开来的，两者用的是完全不同的算路； 当你对自己刚才那次展开没把握时，算一次模就是一次真正的复核，而不是把同一个可能出错的过程 再走一遍。考场上「重算一遍还是错一样的答案」这种事，多半就是因为复核用的是同一条算路。

四个选项是怎么造出来的

回到冷启动里那两件必须做对的事——四项一个不漏、第四项符号不取反—— 把它们的四种组合各算一遍：

四个选项、四种组合，一个不多一个不少。这张表说明的事情很直白：

• 实部是 $-3$ 还是 $-1$，只由 $i^{2}$ 的符号决定；
• 虚部是 $3$ 还是 $1$，只由第三项漏没漏决定。

所以拿到自己算出的结果之后，可以反过来读一次：若你算出实部是 $-3$， 不必重算，直接回去看第四项——$i\cdot(-i)$ 你写成 $-1$ 了吗？

一句话带走

复数乘法只比多项式乘法多一条规矩，而那条规矩只在「虚 $\times$ 虚」那一项上生效。 四项里前三项照搬多项式，第四项两个虚部相乘掉回实部，并且带一个来自 $i^{2}=-1$ 的负号。 把这一项单独拎出来写两步——先得到 $-i^{2}$、再换成 $+1$——这道题以及它的同族题就都不会错。

选择题里还多一件武器：模对乘除是可分配的，可以不算乘积就知道乘积的模。 它筛不掉「实部虚部对调」的那一对，但用来给自己的答案做一次独立复核，恰到好处。