浙江 2019 · 数学 q11

冷启动：只要两句话

这是全卷最省时间的一道，但它把「复数怎么除」和「模是什么」这两件事各考了半句。假设你刚学到这儿， 下面两句话就够用了。

① 模是长度。 复数写成 $a+b\mathrm{i}$（$a$、$b$ 都是实数）时，它在平面上就是点 $(a,b)$， 而模 $|z|$ 就是这个点到原点的距离：

$$|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

所以模一定是非负实数。想按这个定义算，前提是先把 $z$ 摆成 $a+b\mathrm{i}$ 的样子， 且确认 $a$、$b$ 真的都是实数。

② 分母带 $\mathrm{i}$ 不能直接约。 题目给的是

$$z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}$$

分母 $1+\mathrm{i}$ 不是实数，$\frac{1}{1+\mathrm{i}}$ 还不算「算完」。标准动作是 分子分母同乘分母的共轭 $1-\mathrm{i}$——因为

$$(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1-\mathrm{i}^{2}=1-(-1)=2$$

一乘就把分母变成了实数 $2$。这一步叫分母实数化，是复数除法的全部内容。

于是就有了两条路：要么老实把 $z$ 算出来再按定义开平方（解法一）， 要么根本不算 $z$，只对「模」这个量做运算（解法二）。后者三行写完，但得知道凭什么。

下面这张图把两条路画在同一个平面上：深蓝那条是分母 $1+\mathrm{i}$ 的模，绿色那条是所求的 $|z|$， 两者一里一外贴着单位圆——它们的乘积正好是 $1$。

解法一：同乘共轭把分母实数化，化成 $a+b\mathrm{i}$ 再按定义开平方

① 同乘分母的共轭。 分母是 $1+\mathrm{i}$，它的共轭是 $1-\mathrm{i}$（只改虚部的符号）。 分子分母同乘它：

$$z=\frac{1}{1+\mathrm{i}} =\frac{1\cdot(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} =\frac{1-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}^{2}} =\frac{1-\mathrm{i}}{2}$$

② 写成标准代数形式。 把 $\frac{1}{2}$ 分给两项：

$$z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$$

现在实部是 $\frac{1}{2}$、虚部是 $-\frac{1}{2}$，两个都是实数，可以按定义开平方了。 注意虚部是 $-\frac{1}{2}$ 而不是 $-\frac{1}{2}\mathrm{i}$——但这一题只用它的平方，符号丢了也不影响结果， 下一道换成问虚部就不一样了。

③ 按定义算模。

$$|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} =\sqrt{\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$$

最后一步是分母有理化（同乘 $\sqrt{2}$）：答案一律写成 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，别停在 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。

④ 自检两下。 一是把 $z$ 乘回分母，应该得回分子 $1$：

$$\frac{1-\mathrm{i}}{2}\cdot(1+\mathrm{i})=\frac{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{2}=\frac{2}{2}=1\ \checkmark$$

二是估一下数量级：点 $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 在单位圆里面，所以 $|z|$ 应当小于 $1$， 而 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707<1\ \checkmark$。

这条路的动作：看见分母带 $\mathrm{i}$，先同乘共轭把分母实数化，化成 $a+b\mathrm{i}$，再读所求。

解法二：不算商，直接对模用乘除性质

① 凭什么能这么做。 复数相乘时，模是相乘的：$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|$ （几何上乘一个复数 = 旋转一个角度再按它的模伸缩，长度只由模负责）。把它移一下就是除法版：

$$\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}\qquad(z_{2}\neq 0)$$

② 直接套。 本题分子是 $1$、分母是 $1+\mathrm{i}$：

$$|z|=\left|\frac{1}{1+\mathrm{i}}\right|=\frac{|1|}{|1+\mathrm{i}|}=\frac{1}{|1+\mathrm{i}|}$$

③ 只剩一个模要算。

$$|1+\mathrm{i}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$

④ 收尾。

$$|z|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

⑤ 与解法一一致，且这就是标准答案给的写法。 整个过程一次都没写出 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$—— 分母实数化那一步被完整地省掉了。

⑥ 图上是什么。 $1+\mathrm{i}$ 落在单位圆外（离原点 $\sqrt{2}\approx 1.41$）， 取倒数把它送到单位圆内（离原点 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$），而且

$$|1+\mathrm{i}|\cdot|z|=\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=1$$

一个大于 $1$、一个小于 $1$，乘积恰是 $1$：取倒数在长度上就是「取倒数」，在方向上是翻到共轭那一侧 （图里 $z$ 落在过原点与 $1-\mathrm{i}$ 的那条射线上）。记住这个画面，以后见到 $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ 就不用再推。

这条路的动作：只问模、且表达式里只有乘除时，先逐块取模再运算，别去算原式。

避坑

三句话收尾：

• 只问模，就别急着算 $z$。表达式全是乘除时，逐块取模最快；一旦出现加减，那一块必须先合并。
• 分母带 $\mathrm{i}$ 就同乘共轭，这是复数除法唯一的动作；若题目还要实部、虚部或共轭，这一步躲不掉。
• 答案落地前看一眼几何：$z$ 在单位圆内还是圆外，模该大于 $1$ 还是小于 $1$，一眼就能否掉算错的数。