模拆到加减上

模对乘除是可分配的，对加减不是：

加减那一侧只有三角形不等式 $\big||z_1|-|z_2|\big|\leq|z_1\pm z_2|\leq|z_1|+|z_2|$， 右端取等要两个向量同向、左端取等要反向——这本就是「两边之和大于第三边」搬到平面上。

常见的错法都与具体数字无关：

• 逐项开根：$|1+\mathrm{i}|$ 写成 $1+1=2$（正确是 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$）；
• 把模当线性的：$|z-1|$ 写成 $|z|-1$，于是「$|z-1|=2$ 的轨迹」错认成同心圆；
• 拆完再乘除：表达式里明明有加减，却先各自取模再按乘除性质拼，比如把 $\left|\dfrac{1+2\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}\right|$ 算成 $\dfrac{1+2}{3-1}$。

判断办法只有一条：看表达式的最外层结构。最外层是乘、除、乘方，才可以逐块取模； 最外层是加减，就必须先合并成 $a+b\mathrm{i}$ 再按 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 开平方。 （向量的 $|\vec a+\vec b|$、绝对值的 $|x+y|$ 是同一个坑，理由完全一样。）