浙江 2008 · 数学 q09

冷启动：条件里只有一个数量积，先把它拆开

题面：$a$、$b$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，向量 $c$ 满足

$$(a-c)\cdot(b-c)=0$$

求 $|c|$ 的最大值。（原卷把三个向量都印成普通的斜体字母 $a,b,c$，照录不改； 读的时候记住它们是向量，$a\cdot b$ 是数量积、$|c|$ 是模。）

第一件事：已知条件只有三条，全都该翻译成数量积的语言。

$$|a|=|b|=1\ \Longrightarrow\ a\cdot a=b\cdot b=1,\qquad a\perp b\ \Longrightarrow\ a\cdot b=0$$

第二件事：把那个乘积展开。 数量积对加减法可以像普通乘法一样展开（分配律），四项：

$$(a-c)\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c-c\cdot b+c\cdot c$$

代入 $a\cdot b=0$、$c\cdot c=|c|^{2}$，条件就变成一条极干净的等式：

$$|c|^{2}=a\cdot c+b\cdot c=c\cdot(a+b) \tag{$\ast$}$$

这一行是全题的枢纽：左边只含 $|c|$，右边只含「$c$ 与那个固定向量 $a+b$ 的数量积」。 下面三条路，分别是把 $(\ast)$ 往三个方向读。

第三件事：先把 $a+b$ 的模算出来，它是本题唯一的常数。

$$|a+b|^{2}=|a|^{2}+2a\cdot b+|b|^{2}=1+0+1=2 \quad\Longrightarrow\quad |a+b|=\sqrt{2}$$

注意它是 $\sqrt2$，不是 $2$。 两个向量的模不能拆到加减上——$|a+b|=|a|+|b|$ 只在同向时成立， 而这里 $a\perp b$。选项 B 的 $2$ 就是替这个错误准备的。

解法一：展开那个数量积，把条件压成 $|c|^{2}=c\cdot(a+b)$

怎么想到的。 $(\ast)$ 的右边是一个数量积，而数量积有一条天然的上界—— 平面向量的数量积 的定义式 $u\cdot v=|u||v|\cos\theta$ 里，$\cos\theta\leq 1$。 于是右边可以被放大成「两个模的积」，而两个模里有一个正是左边的 $|c|$，一放缩就自己撞上自己。

① 把条件展开成 $(\ast)$。 由 $a\cdot b=0$、$c\cdot c=|c|^{2}$：

$$0=(a-c)\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c-c\cdot b+|c|^{2} \ \Longrightarrow\ |c|^{2}=c\cdot(a+b)$$

② 右边放缩。 先把 $c=0$ 单独拎出来：那时 $|c|=0$，结论 $0\leq|c|\leq\sqrt2$ 显然成立。 以下设 $c\neq 0$，记 $c$ 与 $a+b$ 的夹角为 $\theta$（这时夹角才有定义），则

$$c\cdot(a+b)=|c|\,|a+b|\cos\theta\leq|c|\,|a+b|=\sqrt{2}\,|c|$$

（用到 $|a+b|=\sqrt2$，冷启动第三件事已算；$|c|\geq 0$ 故乘上去不翻号。）

③ 自己撞自己，解出范围。

$$|c|^{2}\leq\sqrt2\,|c| \ \Longrightarrow\ |c|\left(|c|-\sqrt2\right)\leq 0 \ \Longrightarrow\ 0\leq|c|\leq\sqrt2$$

④ 验等号取得到——这一步不能省。 上界 $\sqrt2$ 要成立，需要 $\cos\theta=1$（$c$ 与 $a+b$ 同向） 且 $|c|=\sqrt2$，也就是 $c=a+b$。代回原条件验一遍：

$$\bigl(a-(a+b)\bigr)\cdot\bigl(b-(a+b)\bigr)=(-b)\cdot(-a)=a\cdot b=0\ \checkmark$$

确实满足。所以最大值就是 $\sqrt2$，选 C。

⑤ 顺带一句：下界 $0$ 也取得到。 $c=0$ 时 $(a-0)\cdot(b-0)=a\cdot b=0$ 成立， 所以 $|c|$ 的取值范围是整段 $\left[0,\sqrt2\right]$——满足条件的 $c$ 有一大片，不是几个孤立的向量。 这件事在下一条路里会看得更清楚。

解法二：取一组坐标，看 $c$ 的终点跑出什么轨迹

怎么想到的。 题目问的是「最大值」，而最大值总要在一个范围上取；与其抽象地放缩， 不如把满足条件的 $c$ 全部找出来，看它们长成什么形状。要找「全部」，最顺手的是 向量坐标化。

① 建系：可以直接取 $a=(1,0)$、$b=(0,1)$。 这不是「取特殊值」—— $a$、$b$ 是一对互相垂直的单位向量，本身就构成一组正交单位基； 把坐标系的两个轴摆成 $a$、$b$ 的方向，题面的每一个条件（两个模、一个垂直、一个数量积） 与所求的 $|c|$ 全都只与长度和夹角有关，转个坐标系一个也不会变。故这样取是无损的。

② 设 $c=(x,y)$，把条件写成坐标式。 按 向量的坐标运算，

$$a-c=(1-x,\,-y),\qquad b-c=(-x,\,1-y)$$ $$(a-c)\cdot(b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x^{2}-x+y^{2}-y=0$$

③ 这正是 圆的一般方程。 $x^{2}+y^{2}-x-y=0$，配方：

$$\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

于是 $c$ 的终点 $C$ 在以 $M\left(\frac12,\frac12\right)$ 为心、$r=\frac{\sqrt2}{2}$ 为半径的圆上—— 满足条件的 $c$ 是一整个圆，这与解法一末尾说的「一大片」对上了。

④ 求 $|c|$ 的最大值 = 求原点到这个圆上的点的最远距离。 先算原点到圆心的距离：

$$|OM|=\sqrt{\left(\tfrac12\right)^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}}=\frac{\sqrt2}{2}=r$$

$|OM|$ 恰好等于半径——原点就在这个圆上。 于是由「折线不短于直线」（$O\to M\to C$ 与 $O\to C$ 比），对圆上任意一点 $C$，

$$|OC|\leq|OM|+|MC|=r+r=2r=\sqrt{2}$$

⑤ 取等并验证。 等号要求 $O$、$M$、$C$ 依次共线，即 $C$ 是 $O$ 关于 $M$ 的对称点 $C(1,1)$。 代回第③步的圆方程：$\left(1-\frac12\right)^{2}+\left(1-\frac12\right)^{2}=\frac12$ ✓， 此时 $|c|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2$。选 C。

⑥ 四个选项在这张图上各是谁。 $r=\frac{\sqrt2}{2}$ 是半径（选项 D）—— 把「原点到圆上最远」误当成半径的人选它；$1$（选项 A）是 $A(1,0)$、$B(0,1)$ 到原点的距离， 而这两点确实在圆上（代方程可验），也就是说 $c=a$、$c=b$ 都是合法解， 随手试出来的解不是最值；$2$（选项 B）是 $|a|+|b|$。

解法三：条件就是一个直角——终点落在以 $AB$ 为直径的圆上，而原点也在这个圆上

怎么想到的。 一个数量积等于零，几乎总该先读成「垂直」。可 $a-c$ 与 $b-c$ 是什么？ 把三个向量画成从同一个原点 $O$ 出发的箭头，设它们的终点分别是 $A$、$B$、$C$，那么

$$a-c=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}, \qquad b-c=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$$

（向量的减法就是「终点减起点」的逆用：$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$。） 于是题面那个条件原形毕露：

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{点 }C\text{ 看 }A\text{、}B\text{ 成直角}$$

① 直角把 $C$ 锁在一个圆上。 这正是 直径圆的内外看数量积的符号 说的那件事： $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ 的符号就是 $C$ 与「以 $AB$ 为直径的圆」的位置关系—— 负在圆内、零在圆上、正在圆外。现在它等于零，所以

$$C\ \text{在以}\ AB\ \text{为直径的圆上}$$

② 这个圆有多大。 直径就是 $|AB|$，而 $\overrightarrow{AB}=b-a$，

$$|AB|^{2}=|b-a|^{2}=|b|^{2}-2a\cdot b+|a|^{2}=1-0+1=2 \quad\Longrightarrow\quad |AB|=\sqrt{2}$$

③ 关键的一句：原点 $O$ 也在这个圆上。 因为 $a\perp b$，即 $\angle AOB=90^{\circ}$—— $O$ 同样「看 $A$、$B$ 成直角」，按第①步的同一条判据，$O$ 也落在这个圆上。 （用数量积写也一样：$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=a\cdot b=0$。）

④ 于是 $|c|$ 是一条弦，弦长不超过直径。 $O$ 与 $C$ 都在圆上，所以线段 $OC$ 是这个圆的一条弦：

$$|c|=|OC|\leq\text{直径}=|AB|=\sqrt{2}$$

⑤ 取等：$OC$ 就是直径的时候。 此时 $C$ 是 $O$ 的对径点，$OACB$ 成为一个正方形 （$\angle AOB=\angle ACB=90^{\circ}$，且 $|OA|=|OB|=1$），$C$ 正是 $a+b$ 的终点， $|c|=|a+b|=\sqrt2$。选 C。

这条路一个方程也没解。 从头到尾只用了两句话：「数量积为零 = 看定线段成直角 = 在直径圆上」， 以及「弦不超过直径」。

三条路回头看。 三条路走的是同一件事的三层皮：解法一把条件压成 $(\ast)$ 后纯代数放缩， 优点是不依赖图、$n$ 维也照样成立；解法二把条件解成一条圆的方程， 好处是顺带看清了「满足条件的 $c$ 是一整个圆」——这是另外两条路看不见的全貌， 也是为什么 $c=0$、$c=a$、$c=b$ 都合法却都不是最大；解法三最短， 它把「数量积为零」直接读成直角，于是整道题化为一句「弦不超过直径」。

三条路指向同一个内核：条件不是把 $c$ 定死，而是把它的终点锁在一个恰好过原点的圆上。 一旦看出「原点在圆上」，最大值必是直径——这也是本题与「原点在圆外/圆内」的同类题的分水岭： 原点不在圆上时，最远距离是 $|OM|+r$，写不成这么漂亮的形式。

四个选项，四种停手的位置。 $\sqrt2$（C）是直径；$\frac{\sqrt2}{2}$（D）是半径， 也是原点到圆心的距离——把「最远」当成半径就落它；$1$（A）是 $|a|$， 也就是随手找到的解 $c=a$、$c=b$ 给出的模，它们确实满足条件，只是不是最大； $2$（B）是 $|a|+|b|$，把模拆到加减上的结果。

🕳️ 避坑

• 放缩得到的界必须验取等。 第 ② 步只给出 $|c|\leq\sqrt2$，这是候选最大值； 必须找出 $c=a+b$ 并代回原条件验一遍，才能说「最大值是 $\sqrt2$」。 本题等号取得到，但这是验出来的，不是默认的。
• $|a+b|\neq|a|+|b|$。 模不能拆到加减上：$a\perp b$ 时 $|a+b|=\sqrt2$ 而非 $2$。 要算和的模，只有一条路——先平方：$|a+b|^{2}=|a|^{2}+2a\cdot b+|b|^{2}$。
• 试出一个解 $\neq$ 找到最值。 $c=0$、$c=a$、$c=b$ 都满足 $(a-c)\cdot(b-c)=0$ （前者因为 $a\cdot b=0$，后两者因为有一个因子直接变成零向量）， 它们给出的 $|c|$ 分别是 $0$、$1$、$1$。满足条件的 $c$ 有一整个圆那么多， 必须在整个圆上取最大，不能凑到一个就交卷。
• 原点在圆上，不是圆心。 这是本题最值漂亮的原因，也是最容易搞混的一点： 圆心是 $M\left(\frac12,\frac12\right)$，原点 $O$ 落在圆周上（$|OM|=r$）。 最远点是 $O$ 的对径点，距离是直径 $\sqrt2$；若误以为原点是圆心， 就会答成半径 $\frac{\sqrt2}{2}$（选项 D）。
• 展开数量积别漏项。 $(a-c)\cdot(b-c)$ 有四项，中间两项是 $-a\cdot c$ 与 $-c\cdot b$， 两者都要；最后一项是 $c\cdot c=|c|^{2}$，不是 $|c|$。