直径圆的内外看数量积的符号

解题套路

设 $M$ 是 $AB$ 的中点、$r=\frac{1}{2}|AB|$，则

（因为 $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$，交叉项抵消）。所以

零对应圆上、正对应圆外。圆心与半径根本不用露面。

用它的两步：

1. 把「在以 $AB$ 为直径的圆内」直接写成 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}<0$；若 $P$ 是原点，就是 $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}<0$（$A$、$B$ 的坐标之积和）。
2. 交点不必解出来：直线与圆锥曲线联立后，$x_{1}x_{2}$ 与 $y_{1}y_{2}$ 都是韦达定理的现成货，代进去就是一个关于参数的不等式。

几个等价说法（同一件事的几张面孔）

• $P$ 在圆内 $\iff\angle APB$ 是钝角（$P$ 在圆上就是直角——这正是「直径所对的圆周角是直角」）；
• $P$ 在圆内 $\iff |PA|^{2}+|PB|^{2}<|AB|^{2}$（把上式两边乘 $-2$ 再配方）；
• $2|PM|<|AB|$——「点到中点的距离小于半径」的原样写法，展开后与数量积式逐项相同。

考场上写哪一个都对，但数量积那一版最省笔：另外两版都要先把 $|AB|$ 或 $|PM|$ 算出来（带根号、带平方和），数量积版只要两个乘积之和。

自检

• $\angle APB$ 是钝角这个说法要求 $P$ 不与 $A$、$B$ 重合、且 $A$、$P$、$B$ 不共线；数量积版没有这些附带条件，更安全。
• 别把「圆内」写成 $\leqslant$。开区间对应严格不等号，端点（圆上）要不要取，看题面是「内」还是「内或上」。
• 若 $P$ 不是原点，记得写的是 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 而不是 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$——两者只在 $P=O$ 时才一样。