平面向量的数量积

教材原文

已知两个非零向量 a，b （图 6.2-19），O 是平面上的任意一点，作 $\overrightarrow{OA}=a$ ， $\overrightarrow{OB}=b$ ，则 $\angle AOB=\theta$ （ $0\leqslant\theta\leqslant\pi$ ）叫做向量 a 与 b 的夹角.

如果 $a$ 与 $b$ 的夹角是 $\frac{\pi}{2}$，我们说 $a$ 与 $b$ 垂直，记作 $a \perp b$.

已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 $\theta$ ，我们把数量 $\left|a\right|\left|b\right|\cos\theta$ 叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积（inner product）），记作 $a \cdot b$ ，即

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = | \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} | \cos \theta .$

规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

$\cos \theta = \frac {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}}{| \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} |} = \frac {- 5 4 \sqrt {2}}{1 2 \times 9} = - \frac {\sqrt {2}}{2}.$

公式

反解出夹角公式，以及取 $\vec b=\vec a$ 得到的模与数量积的换算：

用法

• 数量积是数不是向量。它的符号只由 $\cos\theta$ 决定：$\theta$ 锐角为正、直角为 $0$、钝角为负； 于是 $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$ 是最常用的那条判据。
• $\vec a^2=|\vec a|^2$ 是模与数量积之间的桥。求模一律先求模的平方： $|\vec a\pm\vec b|^2=\vec a^2\pm2\vec a\cdot\vec b+\vec b^2=|\vec a|^2\pm2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。 这个展开对多项线性组合照样成立（按多项式乘开，$\vec e_i\cdot\vec e_j$ 当成一个数收着）。
• 单位向量把展开压得最短：$|\vec e|=1$ 时 $\vec e^2=1$，于是形如 $m\vec e_1+n\vec e_2$ 的两个向量， 它们的数量积与模平方全都是 $\vec e_1\cdot\vec e_2$ 的一次式——一个未知数就够了。
• 算夹角要连模一起算：$\cos\theta$ 的分母是两个模的乘积，只算出 $\vec a\cdot\vec b$ 定不出角。 且 $\theta\in[0,\pi]$，$\cos\theta$ 与 $\theta$ 一一对应，求出余弦就定死了角。