病灶：正交基底养出来的坏习惯
在正交单位基底里，坐标和投影是同一件事：a=xe1+ye2 两边点乘 e1，立刻得 x=a⋅e1。用惯了就会以为「坐标就是投影」。
基向量不垂直时这条断了。设 e1、e2 是夹角为 θ 的单位向量，点乘 e1 给出的是
a⋅e1=x+ycosθ,
两个坐标搅在一起——想抓 x 反而多引进一个 y。这是斜基底下”求某个系数”类问题最常见的第一步失着。
做法：点乘另一条的垂线
要甩掉 y，就点乘一个把 e2 打成零的向量。记 e2⊥ 为与 e2 垂直的单位向量（平面里只有两个，差一个符号）：
- 两边点乘 e2⊥，含 y 的那一项自动消失：
a⋅e2⊥=x(e1⋅e2⊥)=±xsinθ.
- 于是
∣x∣=sinθa⋅e2⊥.
- 要 x 与 ∣a∣ 的比，直接由 a⋅e2⊥⩽∣a∣ 得
∣a∣∣x∣⩽sinθ1,等号⟺a∥e2⊥⟺a⊥e2.
抓 y 同理，换成点乘 e1⊥。
为什么值得单独记
- 上界只跟夹角有关，与 a 是谁无关：sinθ1。夹角 30∘ 就是 2，夹角 60∘ 就是 32，90∘ 就是 1（退回正交基底，坐标真的不超过模）。
- 等号条件是几何的：a⊥e2。这比配方路线给出的 xy=−cosθ⋅(⋯) 那类代数条件好记，也好回头验证。
- 它解释了”为什么斜基底不好用”：θ→0 时 sinθ1→+∞，两个基向量越接近共线，同一个 a 的坐标越能被放大到任意大。
自检
- e2⊥ 的两个方向别纠结：换方向只翻 x 的符号，取绝对值时无所谓；但若题目要 x 本身带符号，就得把方向定下来再算。
- 基向量不是单位向量时公式要改：一般地 ∣x∣∣e1∣sinθ=a⋅e2⊥，上界变成 ∣e1∣sinθ1。先看清题目给的是不是单位向量。
- θ 取的是两个基向量的夹角，不是它的补角：sinθ=sin(π−θ)，这一步碰巧不受影响，但写在纸上要说清是哪一个。
- 空间里的对应版本：抓 {e1,e2,e3} 里的 x，要点乘 e2、e3 张成的那张平面的单位法向量，再除以 e1 在该法向上的分量。