浙江 2013 · 数学 q17

冷启动：两个字母，一个自由度

题面给了 $x$、$y$ 两个实数，看着是二元最值。但目标

$$\frac{|x|}{|\vec{b}|},\qquad \vec{b}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}\ (\vec{b}\neq\vec{0})$$

把 $x$、$y$ 同时乘上一个非零常数 $k$ 时，分子分母都乘 $|k|$，值一点不变。它是零次齐次式，只认 $(x,y)$ 的比、不认它们的大小——换句话说，整道题的自由度只有一个：$\vec{b}$ 的方向。

模平方是唯一的工具：

$$|\vec{b}|^{2}=\vec{b}\cdot\vec{b}=x^{2}+2xy\,\vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}+y^{2}, \qquad \vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}=1\times1\times\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$|\vec{b}|^{2}=x^{2}+\sqrt{3}\,xy+y^{2}.$$

到这里为止四条路都一样。分别从下一步开始：这个二元二次式，你打算把谁当主元。

解法一：原卷路线——除以 $x^{2}$，令 $t=\frac{y}{x}$，配方读倒数的最小值

零次齐次式的常规动作：分子分母同除 $x^{2}$，比值就塌成一个字母的函数。

$$\left(\frac{|x|}{|\vec{b}|}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}+\sqrt{3}xy+y^{2}} =\frac{1}{1+\sqrt{3}\cdot\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} .$$

令 $t=\dfrac{y}{x}$，分母配方：

$$t^{2}+\sqrt{3}\,t+1=\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}\geqslant\frac{1}{4},$$

当且仅当 $t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 取等。分母最小则整体最大：

$$\left(\frac{|x|}{|\vec{b}|}\right)^{2}\leqslant 4,\qquad \frac{|x|}{|\vec{b}|}\leqslant 2 .$$

原卷欠的那半句话

「除以 $x^{2}$」这一步用掉了 $x\neq 0$，而题面只说 $\vec{b}\neq\vec{0}$，并没有保证 $x\neq0$。$x=0$ 这一档必须单独交代：此时 $\vec{b}=y\vec{e}_{2}$、$|\vec{b}|=|y|\neq0$，目标值是 $\dfrac{0}{|y|}=0$，比 $2$ 小，不影响最大值。

一句话的事，但不能没有。教学图第 ② 块正好把这件事画了出来：$x\to 0$ 对应 $|t|\to+\infty$，也就是曲线的两个端点方向，函数值在那儿趋于 $0$——被换元筛掉的那一档，恰恰是最不可能取到最大值的那一档。

还得补一句等号取得到：$t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 是个实数，取 $x=2$、$y=-\sqrt{3}$，则

$$|\vec{b}|^{2}=4+\sqrt{3}\times2\times(-\sqrt{3})+3=4-6+3=1,$$

$\dfrac{|x|}{|\vec{b}|}=\dfrac{2}{1}=2$。最大值确实是 $2$，不是上确界。

解法二：一次都不用除——把 $y$ 当主元配方，$|\vec{b}|^{2}\geqslant\frac{x^{2}}{4}$

上一条路的两处麻烦（除以 $x$、再取倒数）都来自同一个决定：把 $t=\dfrac{y}{x}$ 当主元。换一个主元，两处麻烦一起消失。

把 $|\vec{b}|^{2}$ 看成关于 $y$ 的二次三项式，对 $y$ 配方：

$$|\vec{b}|^{2}=y^{2}+\sqrt{3}xy+x^{2} =\left(y+\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^{2}+\frac{x^{2}}{4}\geqslant\frac{x^{2}}{4}.$$

这一步对一切实数 $x$、$y$ 成立，$x=0$ 也成立（两边都是 $0$）。开方（两边非负）：

$$|\vec{b}|\geqslant\frac{|x|}{2},$$

由 $\vec{b}\neq\vec{0}$ 知 $|\vec{b}|>0$，两边同除即得 $\dfrac{|x|}{|\vec{b}|}\leqslant 2$。等号当且仅当 $y+\dfrac{\sqrt{3}}{2}x=0$，即 $y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$。

三行写完，一处分类都不必。遇到”要除以一个可能为零的量”，先想想能不能换个主元把它留在原地——这比事后补一句分类更省事，也更不容易忘。

解法三：几何路线——三条边凑成一个三角形，正弦定理一行

$\vec{b}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}$ 这个式子本身就是一句几何话：从 $O$ 出发先走 $x\vec{e}_{1}$ 到 $A$，再走 $y\vec{e}_{2}$ 到 $B$，则 $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$。于是

$$|OA|=|x|,\qquad |AB|=|y|,\qquad |OB|=|\vec{b}| ,$$

三个量正好是同一个三角形的三条边（$x$、$y$ 都不为零时；有一个为零就退化成线段，见下）。

关键在 $A$ 处的那个角。$\overrightarrow{AO}=-x\vec{e}_{1}$，$\overrightarrow{AB}=y\vec{e}_{2}$，所以 $\angle OAB$ 是 $\pm\vec{e}_{1}$ 与 $\pm\vec{e}_{2}$ 的夹角——按 $x$、$y$ 的正负，它要么是 $30^{\circ}$，要么是 $150^{\circ}$。两种情形的正弦相同：$\sin\angle OAB=\dfrac{1}{2}$。

对 $\triangle OAB$ 用正弦定理：

$$\frac{|OA|}{\sin\angle OBA}=\frac{|OB|}{\sin\angle OAB} \ \Longrightarrow\ \frac{|x|}{|\vec{b}|}=\frac{\sin\angle OBA}{\sin\angle OAB}=\frac{\sin\angle OBA}{\sin 30^{\circ}}\leqslant\frac{1}{\sin 30^{\circ}}=2 .$$

等号当且仅当 $\sin\angle OBA=1$，即 $\angle OBA=90^{\circ}$，也就是 $OB\perp AB$——用向量说就是 $\vec{b}\perp\vec{e}_{2}$。

退化的两档单独看一眼：$y=0$ 时 $\vec{b}=x\vec{e}_{1}$，比值是 $1$；$x=0$ 时比值是 $0$。都不超过 $2$。

这条路把答案的来处讲明白了

$2$ 不是一个碰巧算出来的数，它是 $\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}$。把夹角换成任意的 $\theta$，答案就是 $\dfrac{1}{\sin\theta}$：夹角 $60^{\circ}$ 时是 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，夹角 $90^{\circ}$ 时是 $1$（正交基底下坐标的绝对值不可能超过模，这与直觉一致），夹角趋于 $0$ 时上界趋于 $+\infty$（两个基向量越接近共线，同一个 $\vec{b}$ 的坐标越能被放大到任意大）。

解法四：投影路线——$x$ 是 $\vec{b}$ 在 $\vec{e}_{2}$ 垂线上的投影，除以 $\sin 30^{\circ}$

前三条路都在算模长。其实还有一条更短的：直接把 $x$ 解出来。

在正交基底里，两边点乘 $\vec{e}_{1}$ 就能取出 $x$。这里不行：

$$\vec{b}\cdot\vec{e}_{1}=x+y\cos 30^{\circ}$$

——两个坐标搅在一起，反而多引进一个 $y$。斜基底里”坐标”和”投影”不是一回事，这是本题真正的知识点。

要单独抓 $x$，就点乘一个能把 $\vec{e}_{2}$ 打成零的向量。记 $\vec{e}_{2}^{\perp}$ 为与 $\vec{e}_{2}$ 垂直的单位向量：

$$\vec{b}\cdot\vec{e}_{2}^{\perp}=x\,(\vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}^{\perp})+y\underbrace{(\vec{e}_{2}\cdot\vec{e}_{2}^{\perp})}_{=0} =\pm x\sin 30^{\circ}=\pm\frac{x}{2}.$$

（写成坐标就更明白：取 $\vec{e}_{1}=(1,0)$、$\vec{e}_{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，则 $\vec{e}_{2}^{\perp}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，而 $\vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}^{\perp}=-\frac{1}{2}=-\sin 30^{\circ}$。）

于是

$$|x|=\frac{\left|\vec{b}\cdot\vec{e}_{2}^{\perp}\right|}{\sin 30^{\circ}}\leqslant\frac{|\vec{b}|\,\bigl|\vec{e}_{2}^{\perp}\bigr|}{\sin 30^{\circ}}=\frac{|\vec{b}|}{\sin 30^{\circ}}=2|\vec{b}| ,$$

等号当且仅当 $\vec{b}\parallel\vec{e}_{2}^{\perp}$，即 $\vec{b}\perp\vec{e}_{2}$。

一行出结果，而且分母上的 $\sin$ 是怎么来的这件事被讲透了：抓 $x$ 时要投到 $\vec{e}_{2}$ 的垂线上，而 $\vec{e}_{1}$ 在那条垂线上的分量恰好是 $\sin\theta$。把 $\sin$ 记成 $\cos$ 的人，多半是把坐标当成了投影。

四条路怎么选

填空题只要数字，考场上路二或路四最快（十几秒）。要理解这道题在考什么，路四是那条必须走一遍的路。

一句话带走

$\dfrac{|x|}{|\vec{b}|}$ 的上界只跟两个基向量的夹角有关，等于 $\dfrac{1}{\sin\theta}$：因为斜基底里抓某个坐标，要把向量投到另一个基向量的垂线上，$\vec{e}_{1}$ 在那条垂线上只剩 $\sin\theta$ 那么长。本题 $\theta=30^{\circ}$，上界 $\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}=2$，等号在 $\vec{b}\perp\vec{e}_{2}$（即 $y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$）时取到。