齐次式设比降元

解题套路

1. 验齐次：把式子里的每个变量同时换成 $ka$、$kc$（$k>0$）。若式子的值一点没变， 它就是零次齐次式——分子分母的次数相等即是。三角形里的 $\dfrac{a+c}{b}$、$\dfrac{ac}{b^2}$、$\cos A$、$\dfrac{S}{b^2}$ 全是这一类 （形状一样、大小不同的三角形，这些量相同）。
2. 设比：令 $u=\dfrac ac$（$u>0$）。把式子里所有变量都除以 $c$，$u$ 就是唯一剩下的字母。 有第三个量（如 $b$）时，先用条件把它写成 $a$、$c$ 的函数（余弦定理正是干这个的），再一起除。
3. 搬范围：原来的约束（三角形的存在性、锐角、某边最大……）逐条翻译成 $u$ 的不等式， 取交得到 $u$ 的区间。这一步是全套路的重心，漏一条范围就宽了。
4. 求一元函数的值域：$f(u)$ 在那个区间上求最值。若 $f$ 还满足 $f\!\left(\frac1u\right)=f(u)$ （原式对 $a\leftrightarrow c$ 对称时必然如此），则只需看 $u\geqslant1$ 一侧，且 $u=1$（两量相等） 是唯一的极值点。

为什么好用

• 降元：两个自由变量塌成一个，问题从「带约束的二元最值」变成「区间上的一元值域」。
• 量纲对得上：零次齐次意味着答案与三角形的大小无关、只与形状有关。这解释了为什么 这类题从来不给具体边长，也提醒你「设 $c=1$」是合法的（那正是取 $u=a$）。
• 对称性接着送一半：$u\leftrightarrow\frac1u$ 的不变性把定义域折成一半，$u=1$ 处的值就是 「等腰（等边）时的值」，最值多半在那儿。

注意

• 先确认真是零次齐次。$a+c$ 本身是一次齐次式，不能直接设比；要连着一个同次的量（如 $b$） 写成 $\dfrac{a+c}{b}$ 才行。含常数项的式子（如 $a+c-1$）不齐次，这套路不适用。
• 设 $u=\frac ac$ 之后 $u>0$ 是自带的，但仅有 $u>0$ 往往太宽：三角形三边关系、 「三个角都是锐角」等条件必须逐条译成 $u$ 的不等式。
• 分母含根式时（$b=\sqrt{a^2+c^2-ac}$ 之类），求最值先对 $f^2$ 求导， 等价而免去根式；开方时记得 $f>0$，只取算术根。
• 端点常常取不到（严格的锐角、严格的三角形不等式给的是开区间）， 值域的开闭照 $u$ 的区间抄过来，别默认闭。