余弦定理

教材原文

于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：

余弦定理（cosine theorem）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即

$a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - 2 b c \cos A,$

$b ^ {2} = c ^ {2} + a ^ {2} - 2 c a \cos B,$

$c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - 2 a b \cos C.$

利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.

由余弦定理，可以得到如下推论：

$\cos A = \frac {b ^ {2} + c ^ {2} - a ^ {2}}{2 b c},$

$\cos B = \frac {c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}}{2 c a},$

$\cos C = \frac {a ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2}}{2 a b}.$

利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.

公式

（对 $a,b$ 及其夹角 $A,B$ 同理）。

用法

• 已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角。
• $C=\dfrac{\pi}{2}$ 时退化为勾股定理 $c^2=a^2+b^2$。