浙江 2020 · 数学 q18

两问的分量完全不对等。

第一问是一次边角互化：条件 $2b\sin A=\sqrt3\,a$ 里边与角混着，用正弦定理把边换成角， $\sin A$ 一约就得 $\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}$，三行的事。

第二问才是这道题的正身，而它的难点不在三角变形——把 $\cos A+\cos B+\cos C$ 化成 $\sin\!\left(A+\dfrac\pi6\right)+\dfrac12$ 是教材例题级的操作。难点在**「锐角」这两个字值多少分**： 它把 $A$ 的范围从 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ 收紧到 $\left(\dfrac\pi6,\dfrac\pi2\right)$， 下界随之从 $1$ 抬到 $\dfrac{\sqrt3+1}{2}$。丢分的人几乎都不是三角变形错了，是那半个条件没用上。

还有一层暗礁：$A+\dfrac\pi6$ 跑遍的区间 $\left(\dfrac\pi3,\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 恰好跨过正弦的峰。这一段上正弦不单调，两个端点还等高——所以最终的区间必然是 一开一闭：下界取不到（端点被「锐角」排除），上界取到（峰在区间内部，对应等边）。

冷启动：第一问只是一次边角互化

正弦定理给 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，即

$$b\sin A=a\sin B .$$

题给 $2b\sin A=\sqrt3\,a$，把左边的 $b\sin A$ 换成 $a\sin B$：

$$2a\sin B=\sqrt3\,a .$$

$a>0$（三角形的边长），约掉得

$$\sin B=\frac{\sqrt3}{2}.$$

在 $(0,\pi)$ 里满足这个式子的角有两个：$B=\dfrac\pi3$ 与 $B=\dfrac{2\pi}{3}$。 题面写的是锐角三角形，$B<\dfrac\pi2$ 把后者排除，故

$$B=\frac\pi3 .$$

这一步就用掉了「锐角」一次。 若题目只说「三角形」，第一问的答案必须是两个角， 这也是为什么下一问还要再用一次这个条件——它不是修饰语，是两处都要兑现的约束。

顺手记下第二问全程都要用的两条：

$$\cos B=\cos\frac\pi3=\frac12,\qquad A+C=\pi-B=\frac{2\pi}{3}.$$

第二条是关键：三个角只剩一个自由度。三条解法只是把这一个自由度安置在不同的字母上。

解法一：消掉一个角，合成一个正弦（官方那条）

第一步：消元。 由 $A+C=\dfrac{2\pi}{3}$ 得 $C=\dfrac{2\pi}{3}-A$，于是三个余弦全变成 $A$ 的函数：

$$\cos A+\cos B+\cos C=\cos A+\frac12+\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}-A\right).$$

第二步：展开合并。 按两角差的余弦公式，

$$\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}-A\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\cos A+\sin\frac{2\pi}{3}\sin A =-\frac12\cos A+\frac{\sqrt3}{2}\sin A ,$$

代回去，$\cos A$ 剩下一半：

$$\cos A+\cos B+\cos C=\frac12\cos A+\frac{\sqrt3}{2}\sin A+\frac12 .$$

前两项正是辅助角公式的样子（系数平方和 $\frac14+\frac34=1$，故振幅是 $1$）：

$$\frac12\cos A+\frac{\sqrt3}{2}\sin A=\sin\!\left(A+\frac\pi6\right),$$

（把右边按两角和的正弦展开即可核对：$\sin A\cos\frac\pi6+\cos A\sin\frac\pi6$，正是左边。）于是

$$\boxed{\;\cos A+\cos B+\cos C=\sin\!\left(A+\frac\pi6\right)+\frac12\;}$$

第三步：定 $A$ 的范围——三个角都要锐。 这是本题的分水岭，一个角一行地写：

$$0<A<\frac\pi2,\qquad 0<B=\frac\pi3<\frac\pi2\ (\text{自动成立}),\qquad 0<C=\frac{2\pi}{3}-A<\frac\pi2 .$$

第三条解出来是 $\dfrac\pi6<A<\dfrac{2\pi}{3}$，与第一条取交：

$$\frac\pi6<A<\frac\pi2 .$$

左端不是 $0$ 而是 $\dfrac\pi6$——差的那一段 $\left(0,\dfrac\pi6\right]$ 里 $C\geqslant\dfrac\pi2$， 三角形不再是锐角的。

第四步：整体代换，读值域。 令 $u=A+\dfrac\pi6$，把区间平移过去：

$$\frac\pi3<u<\frac{2\pi}{3}.$$

这一段跨过了 $u=\dfrac\pi2$，所以正弦在上面不单调，不能拿端点直接比大小。分两头看：

• 上界：$u=\dfrac\pi2$ 落在区间内部，$\sin u=1$ 真的取到，对应 $A=\dfrac\pi3$；
• 下界：$\sin\dfrac\pi3=\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$，两个端点等高， 而端点都是开的，所以 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 是取不到的下界。

合起来 $\dfrac{\sqrt3}{2}<\sin u\leqslant1$，再加上那个 $\dfrac12$：

$$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12<\cos A+\cos B+\cos C\leqslant\frac32 ,$$

即取值范围是

$$\left(\frac{\sqrt3+1}{2},\ \frac32\right].$$

解法二：以两角之和的一半为中心对称换元

$A+C=\dfrac{2\pi}{3}$ 说的是「两个角的和已定」，而目标式对 $A$、$C$ 是对称的 （交换两者不变）。这两件事凑在一起，正是对称换元的场合：把和的一半 $\dfrac\pi3$ 当中心， 偏移当新变量。

第一步：换元。 令

$$A=\frac\pi3+t,\qquad C=\frac\pi3-t .$$

$A+C=\dfrac{2\pi}{3}$ 于此自动成立，一个约束凭空消失。

第二步：搬范围。 两个角各自要锐：

$$0<\frac\pi3+t<\frac\pi2\ \Longrightarrow\ -\frac\pi3<t<\frac\pi6,\qquad 0<\frac\pi3-t<\frac\pi2\ \Longrightarrow\ -\frac\pi6<t<\frac\pi3 .$$

取交：

$$-\frac\pi6<t<\frac\pi6 .$$

范围关于 $0$ 对称——这不是巧合，是 $A$、$C$ 地位对称的必然结果。

第三步：算目标。 两个余弦相加，用两角和与差的余弦公式，交叉项相消：

$$\cos A+\cos C=\cos\!\left(\frac\pi3+t\right)+\cos\!\left(\frac\pi3-t\right) =2\cos\frac\pi3\cos t=\cos t .$$

（$2\cos\frac\pi3=1$，所以连系数都不剩。）于是

$$\cos A+\cos B+\cos C=\frac12+\cos t,\qquad t\in\left(-\frac\pi6,\frac\pi6\right).$$

第四步：读值域。 $\cos t$ 是偶函数，在对称区间上只需看 $t\geqslant0$ 一侧： $t=0$ 时最大，$\cos0=1$；$|t|\to\dfrac\pi6$ 时最小，趋于 $\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 但取不到。故

$$\frac{\sqrt3}{2}<\cos t\leqslant1 \ \Longrightarrow\ \frac{\sqrt3+1}{2}<\cos A+\cos B+\cos C\leqslant\frac32 .$$

这条路的额外收获是「为什么」。 $t=0$ 就是 $A=C=\dfrac\pi3$，也就是等边。 偶函数的图象关于 $t=0$ 对称，所以 $t=0$ 天生是候选的极值点（并非任何偶函数都在那儿取极值， 但两侧同值这件事把它推到候选席上）；再由 $\cos t$ 在 $\left[0,\dfrac\pi6\right]$ 上递减， 这个候选点确实就是最大值点。于是「最大值在等边时取到」不是背来的结论，是换元自己交出来的。 而两个端点对应两个直角三角形（$t=\dfrac\pi6$ 时 $A=\dfrac\pi2$，$t=-\dfrac\pi6$ 时 $C=\dfrac\pi2$），它们都被「锐角」挡在门外，于是下界必开、且两端等高—— 解法一里那句「端点等高」在这里是一眼可见的对称。

解法三：全化成边，锐角变成两条边的不等式

这一条完全不碰三角变形，只用余弦定理，适合「一看三角就手抖」的时候，也用来给前两条路做独立复核。

第一步：把两个余弦之和化成边。 按余弦定理通分：

$$\cos A+\cos C=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =\frac{a\left(b^2+c^2-a^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)}{2abc}.$$

分子按 $b^2$ 归堆，余下的四项两两配对：

$$a\left(c^2-a^2\right)+c\left(a^2-c^2\right)=(c-a)(c+a)(a-c)=-(a-c)^2(a+c),$$

所以分子 $=b^2(a+c)-(a-c)^2(a+c)=(a+c)\left[b^2-(a-c)^2\right]$，即

$$\cos A+\cos C=\frac{(a+c)\left[b^2-(a-c)^2\right]}{2abc}.$$

第二步：代 $B=\dfrac\pi3$。 余弦定理给 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=a^2+c^2-ac$，于是方括号里

$$b^2-(a-c)^2=\left(a^2+c^2-ac\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)=ac ,$$

$ac$ 与分母里的 $ac$ 约掉：

$$\cos A+\cos C=\frac{(a+c)\,ac}{2abc}=\frac{a+c}{2b} \ \Longrightarrow\ \cos A+\cos B+\cos C=\frac12+\frac{a+c}{2b}.$$

三个余弦之和只由 $\dfrac{a+c}{b}$ 决定——一个纯粹的边的式子，而且是零次齐次的 （三边同时放大，值不变），所以它只与三角形的形状有关，与大小无关。

第三步：把「锐角」译成边的不等式。 由余弦定理，某个角是锐角等价于它的对边的平方小于另两边 平方之和。逐个代 $b^2=a^2+c^2-ac$：

• $A$ 锐 $\iff a^2<b^2+c^2=\left(a^2+c^2-ac\right)+c^2\iff 2c^2>ac\iff a<2c$；
• $C$ 锐 $\iff c^2<a^2+b^2=a^2+\left(a^2+c^2-ac\right)\iff 2a^2>ac\iff c<2a$；
• $B=\dfrac\pi3$ 自动是锐角。

合起来就是

$$\frac c2<a<2c .$$

第四步：设比降元。 令 $u=\dfrac ac\in\left(\dfrac12,2\right)$，把 $b=c\sqrt{u^2-u+1}$ 代进去：

$$\frac{a+c}{2b}=\frac{u+1}{2\sqrt{u^2-u+1}} .$$

带根式的式子先看它的平方。记 $F(u)=\dfrac{(u+1)^2}{u^2-u+1}$，则

$$F'(u)=\frac{2(u+1)\left(u^2-u+1\right)-(u+1)^2(2u-1)}{\left(u^2-u+1\right)^2} =\frac{3(u+1)(1-u)}{\left(u^2-u+1\right)^2}.$$

$u>0$ 时分母与 $(u+1)$ 都是正的，所以 $F$ 在 $\left(\dfrac12,1\right)$ 上增、在 $(1,2)$ 上减， 峰在 $u=1$（即 $a=c$）：$F(1)=4$。两个端点上

$$F\!\left(\frac12\right)=\frac{\left(\frac32\right)^2}{\frac34}=3,\qquad F(2)=\frac{9}{3}=3 ,$$

两端相等——这也不是巧合：$F\!\left(\dfrac1u\right)=F(u)$（把分子分母同乘 $u^2$ 即见）， $u$ 与 $\dfrac1u$ 只是把 $a$、$c$ 换个名字。端点是开的，故

$$3<F(u)\leqslant4 \ \Longrightarrow\ \frac{a+c}{2b}=\frac{\sqrt{F(u)}}{2}\in\left(\frac{\sqrt3}{2},1\right],$$ $$\cos A+\cos B+\cos C=\frac12+\frac{a+c}{2b}\in\left(\frac{\sqrt3+1}{2},\ \frac32\right].$$

与前两条路一字不差。

教学图

![教学图：上半张是一张 A-C 平面上的允许区域图。横轴标 A、纵轴标 C，两轴刻度都标着 π/6、π/3、π/2、2π/3。一个淡灰底的正方形铺在 0 到 π/2 之间（那是「A、C 都小于直角」的方框），右边界与上边界画成灰色虚线。一条从左上到右下的直线是 A+C=2π/3：方框以外的两截画成灰色粗虚线（左上那截在方框上方、右下那截在方框右方），落在方框里的那一段画成粗亮蓝实线，蓝色标注「A+C=2π/3」挂在左上那截虚线旁。蓝色线段的两个端点是绿色的空心小圈：左端在 (π/6, π/2)，旁边灰字「此端 C 成直角，取不到」；右端在 (π/2, π/6)，旁边灰字「此端 A 成直角，取不到」。线段正中 (π/3, π/3) 是一个绿色实心点，绿字标「A=C=π/3（等边）」；另有一条从原点出发的灰色点线 A=C 穿过这个点，右上角标「A=C」。图题写着「B=π/3 定死之后，内角和把两个角并成一个：C=2π/3−A，于是点 (A,C) 只在这条线段上；再要求三个角都锐：0<A<π/2 与 0<C<π/2 一起把它裁成开线段 A∈(π/6,π/2)」。下半张是函数图象：横轴 A，刻度 π/6、π/3、π/2；纵轴只标两个刻度 (√3+1)/2 与 3/2，各配一条横向的灰色虚线。一条亮蓝色的粗曲线是 sin(A+π/6)+1/2 在 π/6 到 π/2 上的图象，呈上凸的拱形；拱顶 (π/3, 3/2) 是绿色实心点，上方绿字「峰：A=π/3」；两个端点 (π/6, (√3+1)/2) 与 (π/2, (√3+1)/2) 都是绿色的空心小圈，等高。曲线在区间两侧的延伸画成灰色虚线，并各压一片淡灰底，左下角灰字「灰底两侧：不合锐角，裁掉」。左上角绿字「y=3/2（取到）」，右下角绿字「y=(√3+1)/2（取不到）」，曲线左半部压着灰字「两端等高：sin>√3/2（正弦关于峰对称）」。三条竖直点线把 π/6、π/3、π/2 三处引到曲线上。图题写着「合一之后只剩一个正弦：cosA+cosB+cosC=sin(A+π/6)+1/2；峰在区间正中取到（闭），两端等高且取不到（开）⇒ 值域 ((√3+1)/2, 3/2]」](./q18-figure.png)

上半张要看的是**「锐角」到底裁掉了什么**：内角和先把两个角并成一条线段， 再由两个「小于直角」的要求各切掉一头。左上那截灰虚线正是只写 $0<A<\dfrac\pi2$ 的人多算进去的部分。

下半张要看的是为什么区间一开一闭：拱顶落在区间内部（取到，闭），两端等高且被排除（取不到，开）。 这张图也顺手解释了「不能拿端点比大小」——区间跨过了拱顶，函数在上面根本不单调。

三条路怎么选

考场上写解法一：从 $A$ 的范围到答案不超过八行。解法二值得练，因为「和已定 + 对称式」这个组合 在两根之和已定的方程、在等差的项、在解析几何的弦中点问题里到处都是， 一旦看见就能把两个变量压成一个偶函数。 解法三是通用后备，也是最好的自检——它走的是完全不同的语言（边而非角）， 两条路给出同一个区间，基本可以断定没算错。

避坑

1. 只写 $0<A<\dfrac\pi2$，忘了 $C$ 也得锐。 这是本题最贵的一处：区间左端从 $\dfrac\pi6$ 掉回 $0$，$A+\dfrac\pi6$ 的范围变成 $\left(\dfrac\pi6,\dfrac{2\pi}{3}\right)$， 算出的答案是 $\left(1,\dfrac32\right]$——下界整整错了 $\dfrac{\sqrt3-1}{2}$。
2. $\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 只写一个解。 在 $(0,\pi)$ 上它有两个解 $\dfrac\pi3$ 与 $\dfrac{2\pi}{3}$， 必须显式说一句「锐角三角形 $\Rightarrow B<\dfrac\pi2$，故舍去 $\dfrac{2\pi}{3}$」。 直接写 $B=\dfrac\pi3$ 是漏了理由，不是漏了答案。
3. 拿端点比大小。 $A+\dfrac\pi6$ 跑的是 $\left(\dfrac\pi3,\dfrac{2\pi}{3}\right)$， 这一段跨过 $\dfrac\pi2$，正弦在上面先增后减。若照单调区间处理，会得出 「$\sin$ 介于 $\sin\dfrac\pi3$ 与 $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ 之间」，而这两个值相等， 于是荒谬地得到一个「空区间」。先判峰在不在区间里，再决定怎么读。
4. 端点开闭写反。 上界 $\dfrac32$ 在 $A=\dfrac\pi3$ 处取到（那是等边三角形， 三个角都是 $\dfrac\pi3$，确实是锐角三角形），所以右端闭；下界 $\dfrac{\sqrt3+1}{2}$ 对应 $A=\dfrac\pi6$ 或 $A=\dfrac\pi2$，那时有一个角是直角，不合题设，所以左端开。 答案写成 $\left[\dfrac{\sqrt3+1}{2},\dfrac32\right]$ 或 $\left(\dfrac{\sqrt3+1}{2},\dfrac32\right)$ 都要扣分。
5. 换了变量不换范围。 从 $A$ 到 $u=A+\dfrac\pi6$、从 $A$ 到 $t=A-\dfrac\pi3$、从边到 $u=\dfrac ac$，每换一次都要把区间同步搬过去。这是最机械也最容易省掉的一步。
6. 忘了加 $\cos B$。 化到最后写成 $\sin\!\left(A+\dfrac\pi6\right)$ 就交卷， 少了那个 $\dfrac12$。目标里有三个余弦，被定死的那个也算一份。
7. 把「锐角」读成「不超过直角」。 是严格小于 $\dfrac\pi2$，所以直角的那两种形状要排除干净， 这正是下界取不到的原因。
8. 解法三里把「$A$ 锐」直接写成 $\cos A>0$ 就停手。 那还是含角的式子；要接着用余弦定理翻成 $b^2+c^2>a^2$，才真正落到边上。
9. 验算的免费机会没用。 取 $A=\dfrac\pi3$（等边）代原式：$3\times\dfrac12=\dfrac32$， 与上界对得上；取 $A=\dfrac\pi2$（直角，边界）代原式：$0+\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3+1}{2}$， 与下界对得上。两个特殊值一秒钟就能确认端点没算错。

收口：这类题的通用做法

题面给「一个边角等式 + 一个形状词（锐角 / 钝角）」，问一个对称式的取值范围，骨架永远是四步：

1. 边角互化定角：用正弦定理把条件里的边换成角（或反过来），解出那个特殊角； 有两个解时，用形状词筛。
2. 内角和降元：$A+B+C=\pi$ 把剩下两个角并成一个自由变量。目标是对称式的话， 优先用对称换元 $A=\dfrac{A+C}{2}\pm t$——它把对称性变成偶性，最值位置自己浮出来。
3. 形状词逐角译成不等式，取交：每个角写一行，包括已经定死的那个（它多半自动成立， 但写一行才不会漏另一个）。这一步产出的区间是答案的全部来源。
4. 在那个区间上读值域：先看峰（或谷）在不在区间内部——在内部就取到、写闭； 区间端点被形状词排除的话，那一侧写开。

最后一句心法：这类题的分不在三角变形，在区间。 变形谁都会，能不能把「锐角」这两个字 榨出两条不等式并取交，是全部区别。做完随手代两个特殊形状（等边、直角）验一下端点， 几乎不花时间，却能挡住上面九条里的大半。