第三角化和角

解题套路

三角形三个内角只有两个是自由的：$A+B+C=\pi$。所以任何一个角都能由另外两个写出来：

正弦不变号，余弦要变号（诱导公式：$\sin(\pi-x)=\sin x$，$\cos(\pi-x)=-\cos x$）——这是用这条套路时唯一要小心的地方。

什么时候用

• 已知两个角的三角函数值，要第三个角的：直接和角展开，不必求出角本身。
• 已知 $\sin B$ 想求边 $b$（或反之），而 $B$ 本身不好算：把 $\sin B$ 换成 $\sin(A+C)$，用手上现成的 $\sin A,\cos A,\sin C,\cos C$ 拼出来，再用正弦定理

一步得边，不用解方程——这正是它比余弦定理路线省事的地方（后者要解一元二次，还要舍负根）。

前提：两个角的余弦符号都得先定下来

展开式里 $\cos A$、$\cos C$ 都要用到。若手上只有正弦值，$\cos=\pm\sqrt{1-\sin^2}$ 的符号必须另找依据（大边对大角、一个三角形至多一个钝角……），否则算出的 $\sin B$ 会有两个值。

失手处

• $\cos B=-\cos(A+C)$ 那个负号漏掉。
• 展开成 $\sin A\sin C+\cos A\cos C$（那是余弦的展开式）。