两角和与差的正弦

教材原文

通过推导，可以得到：

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta.$

公式

用法

• 正弦拆开后每一项都是「一正一余」，且中间的符号与左边一致（和对应加、差对应减）。这一点与余弦公式相反（$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$，符号反着来），是记忆最容易串的地方。
• 三角形里最常见的用法：$B=\pi-(A+C)$，于是

第三个角的正弦，等于另两角和的正弦——这是把三个角串起来的桥。

• 用它之前要先把两个角的正弦与余弦都定下来，特别是余弦的符号：由 $\sin$ 反求 $\cos$ 会出现 $\pm$，得靠角的范围（或「大边对大角」这类条件）定符号。

失手处

• 展开后把 $\cos\alpha\sin\beta$ 写成 $\cos\alpha\cos\beta$；口诀是「正余、余正」。
• 差角公式的符号：$\sin(\alpha-\beta)$ 中间是减号，别照抄和角。