浙江 2022 · 数学 q18

冷启动：手上有什么，要什么

$\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边依次是 $a,b,c$，已知

$$4a=\sqrt5\,c,\qquad \cos C=\frac35$$

(1) 求 $\sin A$；(2) 若 $b=11$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

① 两个条件各是什么类型。

• $4a=\sqrt5c$ 是纯边的关系（两条边的比例：$\dfrac ac=\dfrac{\sqrt5}{4}$）；
• $\cos C=\dfrac35$ 是纯角的关系。

一边一角，中间的桥就是正弦定理（边角互化）与余弦定理（边与角混着算）。

② 先把 $\sin C$ 补出来。 三角形的内角满足 $0<C<\pi$，所以 $\sin C>0$，由同角关系

$$\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45$$

「知余弦求正弦」不用讨论符号——内角的正弦恒为正。（反过来「知正弦求余弦」就要讨论了，解法二会碰到。）

③ 顺手记下一个位置信息，后面要用。 由 $\dfrac ac=\dfrac{\sqrt5}{4}<1$ 知 $a<c$，于是 $A<C$（大边对大角）。而 $\cos C=\dfrac35>0$ 说明 $C$ 是锐角，所以

$$A<C<\frac\pi2\quad\Longrightarrow\quad A\ \text{是锐角}$$

这一条在第 (1) 问用不上，到解法二定 $\cos A$ 的符号时是关键。

第 (1) 问：边的比例翻成角的比例（两条路共用）

① 把 $4a=\sqrt5c$ 换成角。 正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ 说明 $a=2R\sin A$、$c=2R\sin C$。代进条件：

$$4\cdot 2R\sin A=\sqrt5\cdot 2R\sin C \quad\Longrightarrow\quad 4\sin A=\sqrt5\sin C$$

$2R$ 两边同时约掉——边的等式与角的等式，系数原样搬过去。

② 代入 $\sin C=\dfrac45$。

$$\sin A=\frac{\sqrt5}{4}\sin C=\frac{\sqrt5}{4}\cdot\frac45=\frac{\sqrt5}{5}$$ $$\boxed{\sin A=\frac{\sqrt5}{5}}$$

别顺手去求角 $A$ 是多少度——本题从头到尾只需要 $\sin A$（和后面的 $\cos A$），求出角反而要用近似值。

解法一：余弦定理化成关于 a 的一元二次方程

怎么想到的。 第 (2) 问给了 $b=11$，加上原有的 $4a=\sqrt5c$ 与 $\cos C=\dfrac35$，三边一角里只剩一个自由量：用 $4a=\sqrt5c$ 把 $c$ 消掉，余弦定理就成了只含 $a$ 的方程。解出 $a$，面积公式收尾。

① 用比例消掉 $c$。 由 $4a=\sqrt5c$ 得 $c=\dfrac{4a}{\sqrt5}$，于是

$$c^2=\frac{16a^2}{5}$$

② 写余弦定理的推论形式（因为已知的是 $\cos C$，而 $C$ 对着边 $c$）：

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

代入 $b=11$、$c^2=\dfrac{16a^2}{5}$：

$$\cos C=\frac{a^2+121-\dfrac{16a^2}{5}}{22a} =\frac{121-\dfrac{11a^2}{5}}{22a} =\frac{11\left(11-\dfrac{a^2}{5}\right)}{22a} =\frac{11-\dfrac{a^2}{5}}{2a}$$

（分子里 $a^2-\dfrac{16a^2}{5}=\dfrac{5a^2-16a^2}{5}=-\dfrac{11a^2}{5}$，再把 $11$ 提出来与分母的 $22$ 约成 $2$。）

③ 令它等于 $\dfrac35$，解方程。

$$\frac{11-\dfrac{a^2}{5}}{2a}=\frac35 \ \Longrightarrow\ 5\left(11-\frac{a^2}{5}\right)=6a \ \Longrightarrow\ 55-a^2=6a \ \Longrightarrow\ a^2+6a-55=0$$ $$(a+11)(a-5)=0\ \Longrightarrow\ a=5\ \text{或}\ a=-11$$

边长为正，$a=-11$ 舍去，故 $a=5$。

④ 面积。 $a=5$、$b=11$ 的夹角正是 $C$（$a$ 对 $A$、$b$ 对 $B$，剩下的 $C$ 夹在中间）：

$$S=\frac12ab\sin C=\frac12\times5\times11\times\frac45=\boxed{22}$$

⑤ 回头验一次。 $c=\dfrac{4\times5}{\sqrt5}=4\sqrt5\approx8.94$，三边 $5,11,4\sqrt5$ 满足两边之和大于第三边；再验 $\cos C=\dfrac{25+121-80}{2\times5\times11}=\dfrac{66}{110}=\dfrac35$ ✓。

解法二：先求 sinB，正弦定理一步得 a

怎么想到的。 解法一为了求 $a$ 解了一个一元二次方程，还得舍一个负根。可第 (1) 问已经把 $\sin A$ 交到手上了——正弦定理只要再知道一个「边—角」配对就能直接给出 $a$：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \ \Longrightarrow\ a=\frac{b\sin A}{\sin B}$$

$b=11$ 是给定的，$\sin A$ 有了，只差 $\sin B$。而 $B$ 是第三个角，$B=\pi-(A+C)$——用和角公式就能拼出来。

① 定 $\cos A$ 的符号。 $\sin A=\dfrac{\sqrt5}{5}$，由同角关系

$$\cos A=\pm\sqrt{1-\frac15}=\pm\frac{2\sqrt5}{5}$$

两个符号都对应 $(0,\pi)$ 里的一个角，必须另找依据。 依据就是冷启动第 ③ 步：$a<c\Rightarrow A<C$，而 $\cos C=\dfrac35>0$ 说明 $C$ 锐角，故 $A$ 也是锐角，

$$\cos A=\frac{2\sqrt5}{5}$$

② 第三个角化成和角。 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi-(A+C)$，

$$\sin B=\sin\bigl(\pi-(A+C)\bigr)=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$$

代入四个已知值：

$$\sin B=\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac35+\frac{2\sqrt5}{5}\cdot\frac45 =\frac{3\sqrt5}{25}+\frac{8\sqrt5}{25} =\frac{11\sqrt5}{25}$$

③ 正弦定理直接给 $a$。

$$a=\frac{b\sin A}{\sin B} =\frac{11\cdot\dfrac{\sqrt5}{5}}{\dfrac{11\sqrt5}{25}} =11\cdot\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{25}{11\sqrt5} =\frac{25}{5}=5$$

没有方程，也没有负根要舍——$a=5$ 是一步除法得到的。

④ 面积。 同样用 $a$、$b$ 的夹角 $C$：

$$S=\frac12ab\sin C=\frac12\times5\times11\times\frac45=\boxed{22}$$

⑤ 顺带：这条路还能一步到面积，连 $a$ 都不必单独写出来。 把 $a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$ 直接塞进面积公式：

$$S=\frac12ab\sin C=\frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin B} =\frac{121\cdot\dfrac{\sqrt5}{5}\cdot\dfrac45}{2\cdot\dfrac{11\sqrt5}{25}} =\frac{121\cdot\dfrac{4\sqrt5}{25}}{\dfrac{22\sqrt5}{25}} =\frac{121\times4}{22}=22$$

这两条路差在哪

• 解法一走边：用比例消去 $c$，余弦定理变成关于 $a$ 的一元二次方程，解出来再舍掉负根。它造出的中间对象是方程 $a^2+6a-55=0$；依赖余弦定理，全程不碰角的三角函数（除了最后代 $\sin C$）。
• 解法二走角：先补出 $\cos A$（这一步要判符号），再用和角公式拼出 $\sin B$，正弦定理一步得 $a$。它造出的中间对象是 $\sin B=\dfrac{11\sqrt5}{25}$；依赖和角公式与正弦定理，全程不解方程。

第一个实质动作就分岔了（消元列方程 vs 补角求 $\sin B$），中间对象与依赖的定理都不同。所以是两条路。

考场上怎么选：解法一更稳——余弦定理这条路不需要判 $\cos A$ 的符号，少一个思考点，代价是解一个一元二次方程（本题恰好能因式分解，不亏）。解法二更快，尤其当第 (1) 问已经把 $\sin A$ 送到手上时；但它把风险挪到了「$\cos A$ 取正还是取负」——那一步判错，$\sin B$ 会变成 $\dfrac{-5\sqrt5}{25}<0$，直接不可能（三角形内角正弦必正），算出负数就是符号判错了，这也是个免费的自查。

🕳️ 避坑

• 面积公式里的角是夹角。 $S=\dfrac12ab\sin C$ 中 $C$ 夹在 $a$、$b$ 之间。手上正好有 $\sin A=\dfrac{\sqrt5}{5}$，顺手写成 $\dfrac12ab\sin A$ 就错了（会得到 $\approx12.3$）。字母不重样是一秒自查：$ab$ 配 $C$。
• 「知余弦求正弦」安全，「知正弦求余弦」要讨论。 $\cos C=\dfrac35\Rightarrow\sin C=\dfrac45$（内角正弦恒正，无需分类）；但 $\sin A=\dfrac{\sqrt5}{5}\Rightarrow\cos A=\pm\dfrac{2\sqrt5}{5}$，得靠 $a<c\Rightarrow A<C<\dfrac\pi2$ 定正号。
• 边角互化时系数照搬。 $4a=\sqrt5c$ 换成 $4\sin A=\sqrt5\sin C$，$2R$ 两边同时约掉，$4$ 与 $\sqrt5$ 原样留着。
• 负根要舍。 $a^2+6a-55=0$ 的两根是 $5$ 与 $-11$，边长为正，只留 $5$。
• 余弦定理里角与边要配对。 已知的是 $\cos C$，就用 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$（或它的推论形式），别写成 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos C$ 再去凑。
• 算完回验一次。 $a=5,b=11,c=4\sqrt5$：$\dfrac{25+121-80}{110}=\dfrac35$ ✓。两三秒的事，能挡住整道题的计算错。