浙江 2014 · 数学 q18

冷启动：题面是三个并列条件，不是一串等式

先把题面读对。站上这份转写里有一处 OCR 粘连——课本原页在 $c=\sqrt3$ 之后换了行， 转写把换行吃掉，于是三个条件被串成了一条长等式。对着题解图拆开，题面给的是三件事：

$$a\neq b,\qquad c=\sqrt3,\qquad \cos^{2}A-\cos^{2}B=\sqrt3\sin A\cos A-\sqrt3\sin B\cos B .$$

（这处已在校订层改正，题页上看到的是拆开后的版本。）

第三个条件的形状值得盯一眼。 把它左右各自整理：

$$\underbrace{\cos^{2}A-\sqrt3\sin A\cos A}_{\text{只含 }A} =\underbrace{\cos^{2}B-\sqrt3\sin B\cos B}_{\text{只含 }B}$$

也就是说，记 $f(x)=\cos^{2}x-\sqrt3\sin x\cos x$，条件就是一句 $f(A)=f(B)$。 $A$ 与 $B$ 在这个式子里的地位完全对称，谁也不比谁多一点信息。

于是 $a\neq b$ 不是装饰，是钥匙。 由大边对大角，$a\neq b\iff A\neq B$。 若没有这句，$A=B$ 就是 $f(A)=f(B)$ 的一个平凡解，$C$ 可以是任何值，第（Ⅰ）问根本无解可求。 凡是题面给了「$a\neq b$」「$x_1\neq x_2$」这种看着多余的不等条件，多半就是要你去用那个非平凡分支。

分工也清楚了：第（Ⅰ）问只吃 $a\neq b$ 和那个恒等式；$c=\sqrt3$ 与 $\sin A=\frac45$ 留给第（Ⅱ）问。

解法一：降幂加辅助角，压成 $\sin\left(2A-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)$

原卷的路线。怎么想到的： 条件里同时有 $\cos^{2}A$ 和 $\sin A\cos A$， 两个都是「二次」的三角式，而二倍角公式恰好把二次压成一次：

$$\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x .$$

压完之后满屏都是 $2A$、$2B$ 的一次式，才有合并的余地。

（Ⅰ）求角 $C$

两边同时降幂：

$$\frac{1+\cos 2A}{2}-\frac{1+\cos 2B}{2} =\frac{\sqrt3}{2}\sin 2A-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2B .$$

左边两个常数 $\frac12$ 抵消，只剩 $\dfrac{\cos 2A-\cos 2B}{2}$；把含 $A$ 的挪到左、含 $B$ 的挪到右：

$$\frac{\sqrt3}{2}\sin 2A-\frac12\cos 2A=\frac{\sqrt3}{2}\sin 2B-\frac12\cos 2B .$$

两边形状一模一样，只是把 $A$ 换成了 $B$。看到 $\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}$、 $\frac12=\sin\frac{\pi}{6}$，就该想到辅助角：

$$\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}-\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right),$$

于是条件化成一句

$$\sin\left(2A-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(2B-\frac{\pi}{6}\right).$$

接下来这一步是全题最容易丢分的地方。 $\sin\alpha=\sin\beta$ 有两族解， 不是只有 $\alpha=\beta$：

$$\alpha=\beta+2k\pi\quad\text{或}\quad \alpha+\beta=\pi+2k\pi\qquad(k\in\mathbb{Z}).$$

逐族筛：

• 第一族：$2A-\frac{\pi}{6}=2B-\frac{\pi}{6}+2k\pi$，即 $A=B+k\pi$。 $A,B\in(0,\pi)$ 使 $|A-B|<\pi$，只能 $k=0$，即 $A=B$——被 $a\neq b$ 排除。
• 第二族：$\left(2A-\frac{\pi}{6}\right)+\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)=\pi+2k\pi$， 即 $A+B=\frac{2\pi}{3}+k\pi$。三角形里 $A+B\in(0,\pi)$，只有 $k=0$ 落得进去。

所以 $A+B=\dfrac{2\pi}{3}$，

$$\boxed{\,C=\pi-(A+B)=\frac{\pi}{3}\,}$$

两族都要写、写完都要用范围筛——第一族被 $a\neq b$ 挡掉，第二族被 $A+B<\pi$ 挑出唯一的 $k$， 这两道筛缺一不可。

（Ⅱ）求面积

现在 $C=\frac{\pi}{3}$、$c=\sqrt3$、$\sin A=\frac45$，要面积。 先用正弦定理把 $a$ 拿到手（已知一个角和它的对边，正弦定理是唯一能直接换的工具）：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \ \Longrightarrow\ a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt3\cdot\frac45}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac85 .$$

接着定 $\cos A$ 的符号，这是第二个坑。 $\sin A=\frac45$ 只给出 $\cos A=\pm\frac35$，$A$ 是锐角还是钝角要另找依据。这里有两条独立的依据，任取其一：

• 大边对大角：$a=\frac85=1.6<\sqrt3\approx1.732=c$，所以 $A<C=\frac{\pi}{3}$，$A$ 是锐角；
• 用已得的 $A+B$：$A<A+B=\frac{2\pi}{3}=120^\circ$；而 $\cos A=-\frac35$ 对应 $A\approx126.87^\circ>120^\circ$，矛盾。

两条都指向 $\cos A=\dfrac35$。

最后一步：面积公式要的是两边夹一角。 手上有 $a$ 和 $c$，它们夹的角是 $B$， 所以要 $\sin B$。$B$ 本身不好算，但三角形里第三个角总能由前两个写出来：

$$\sin B=\sin\bigl(\pi-(A+C)\bigr)=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C =\frac45\cdot\frac12+\frac35\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4+3\sqrt3}{10}.$$ $$S=\frac12ac\sin B=\frac12\cdot\frac85\cdot\sqrt3\cdot\frac{4+3\sqrt3}{10} =\frac{4\sqrt3}{5}\cdot\frac{4+3\sqrt3}{10}=\frac{16\sqrt3+36}{50}$$ $$\boxed{\,S=\frac{8\sqrt3+18}{25}\,}$$

数值校验：$\frac{8\times1.7321+18}{25}\approx\frac{31.86}{25}\approx1.274$； 而 $\frac12ac\sin B\approx\frac12\times1.6\times1.732\times0.9196\approx1.274$，对得上。

解法二：两边同时长出 $\sin(A-B)$，约掉它一步到 $\tan C$

怎么想到的： 解法一走的是「先把两边各自化简，再逼它们相等」。 但条件本来就是一个差等于差的式子——左边是 $A$ 的量减 $B$ 的量，右边也是。 凡是「差」，就该想到化成积：一旦两边都提出同一个因式，约掉它就一步到底。

先把两条化积公式现推出来

不必背和差化积表，从和角公式两行就推得出。由

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\qquad \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,$$

相减得 $\cos(x-y)-\cos(x+y)=2\sin x\sin y$。取 $x=A+B$、$y=A-B$， 则 $x-y=2B$、$x+y=2A$：

$$\cos 2B-\cos 2A=2\sin(A+B)\sin(A-B).$$

同样由 $\sin(x+y)-\sin(x-y)=2\cos x\sin y$，同一组代换给

$$\sin 2A-\sin 2B=2\cos(A+B)\sin(A-B).$$

两条式子右边都带着 $\sin(A-B)$——这正是要找的公因式。

（Ⅰ）求角 $C$

把原条件两边分别写成上面的积。左边：

$$\cos^{2}A-\cos^{2}B=\frac{\cos 2A-\cos 2B}{2}=-\sin(A+B)\sin(A-B).$$

右边：

$$\sqrt3\left(\sin A\cos A-\sin B\cos B\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(\sin 2A-\sin 2B\right) =\sqrt3\cos(A+B)\sin(A-B).$$

于是条件成为

$$-\sin(A+B)\sin(A-B)=\sqrt3\cos(A+B)\sin(A-B).$$

$a\neq b$ 在这里现身，而且现得比解法一更直白：$A\neq B$ 且 $A-B\in(-\pi,\pi)$， 所以 $\sin(A-B)\neq0$，可以约掉。约完只剩

$$-\sin(A+B)=\sqrt3\cos(A+B).$$

再把 $A+B$ 换成 $C$ 更省事：$\sin(A+B)=\sin C$，$\cos(A+B)=-\cos C$，代入得 $-\sin C=-\sqrt3\cos C$，即

$$\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ \boxed{\,C=\frac{\pi}{3}\,}\quad(C\in(0,\pi)).$$

（除以 $\cos C$ 是合法的：若 $\cos C=0$，由上式 $\sin C=0$，与 $\sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ 矛盾。）

这条路比解法一短，而且没有「两族解」要筛。 原因在于：解法一把 「$A=B$」那一支藏进了 $\sin\alpha=\sin\beta$ 的第一族里，要靠记忆写全再排除； 而这条路一开始就把它显式提成了因式 $\sin(A-B)$，$a\neq b$ 直接把它掐掉，剩下的方程再无歧义。 同一件事，一个靠记公式不漏支，一个靠因式分解自动不漏支。

（Ⅱ）求面积：改用余弦定理，绕开 $\cos A$ 的符号

$a=\frac85$ 仍由正弦定理得到（这一步无可替代）。但接下来不去碰 $\cos A$， 而是直接把第三条边 $b$ 解出来——已知两边一角（$a$、$c$ 与它们之间的关系角 $C$）， 余弦定理给一个关于 $b$ 的一元二次方程：

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C \ \Longrightarrow\ 3=\frac{64}{25}+b^{2}-2\cdot\frac85 b\cdot\frac12 .$$

整理并乘 $25$：

$$25b^{2}-40b-11=0,\qquad \Delta=40^{2}+4\cdot25\cdot11=1600+1100=2700,\quad \sqrt{\Delta}=30\sqrt3 .$$ $$b=\frac{40\pm30\sqrt3}{50}=\frac{4\pm3\sqrt3}{5}.$$

舍负根：$3\sqrt3\approx5.196>4$，所以 $\frac{4-3\sqrt3}{5}<0$，不是边长。故 $b=\dfrac{4+3\sqrt3}{5}$。这时面积用 $a$、$b$ 夹角 $C$：

$$S=\frac12ab\sin C=\frac12\cdot\frac85\cdot\frac{4+3\sqrt3}{5}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{8\sqrt3\left(4+3\sqrt3\right)}{100}=\frac{32\sqrt3+72}{100}$$ $$\boxed{\,S=\frac{8\sqrt3+18}{25}\,}$$

这条路一次都没用到 $\cos A$，于是「$\sin A$ 反求 $\cos A$ 该取哪个符号」这个坑根本不出现。 代价是要解一个一元二次并舍掉负根——两难之中的取舍从「判角的锐钝」变成了「判根的正负」， 而后者只要看一眼 $3\sqrt3>4$ 就完了，不必分情形去判。 大题里若时间紧，这条更稳。

回验一句，确认这条路没有把条件用丢：由余弦定理解出的 $b$ 并未用到 $\sin A=\frac45$， 所以要检查它是否与这个条件相容。由正弦定理反求，$\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{\frac85\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3}=\dfrac45$， 与题设一致——条件没丢，解也唯一。

解法三：读成 $f(A)=f(B)$，用余弦曲线的对称轴

怎么想到的： 冷启动里已经看出条件就是 $f(A)=f(B)$、$A\neq B$。 一个函数在两个不同点取到同一个值，图象上就是一条水平线交曲线于两点—— 而这两点必然关于某条对称轴左右对称，于是它们的中点落在轴上。 题目要的恰好是 $A+B$，也就是中点的两倍。求的东西和这条性质给的东西严丝合缝，这就是选它的理由。

先把 $f$ 合成看得出对称轴的形状

对称轴要从 $A\cos(\omega x+\varphi)+B$ 这样的单一三角式里读，所以先合成：

$$f(x)=\cos^{2}x-\sqrt3\sin x\cos x =\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x =\frac12+\left(\frac12\cos 2x-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x\right).$$

括号里 $\frac12=\cos\frac{\pi}{3}$、$\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}$，正是余弦的和角展开：

$$f(x)=\frac12+\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$$

（Ⅰ）求角 $C$

$y=\cos t$ 的对称轴在 $t=k\pi$ 处，所以 $f$ 的对称轴由 $2x+\frac{\pi}{3}=k\pi$ 给出：

$$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\qquad(k\in\mathbb{Z}).$$

$A,B\in(0,\pi)$，落在这个范围里的轴有两条：$x=\frac{\pi}{3}$（$k=1$，最低点） 与 $x=\frac{5\pi}{6}$（$k=2$，最高点）。由 $f(A)=f(B)$ 且 $A\neq B$， $\dfrac{A+B}{2}$ 必是其中之一：

• 若 $\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，则 $A+B=\dfrac{2\pi}{3}<\pi$，合法；
• 若 $\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{5\pi}{6}$，则 $A+B=\dfrac{5\pi}{3}>\pi$，与三角形内角和矛盾，舍。

所以 $A+B=\dfrac{2\pi}{3}$，$\boxed{\,C=\dfrac{\pi}{3}\,}$。

这条路的好处是「为什么答案唯一」看得见。 上面那张图里，同一条水平线在 $(0,\pi)$ 内 至多与曲线交两次，而这两个交点的中点只可能落在两条轴中的一条上； $A+B<\pi$ 这道范围限制把靠右那条直接砍掉。 解法一里那句「$A+B\in(0,\pi)$，故 $k=0$」是同一件事的代数写法， 只是在图上它是一眼看得见的，在式子里它是要你主动去筛的。

（Ⅱ）求面积：正弦定理的比值就是外接圆直径

第（Ⅱ）问换一种组装法。正弦定理的完整形式带着外接圆：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R .$$

本题 $\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3/2}=2$，所以 $2R=2$，于是三条边一次全换成角：

$$a=2\sin A,\qquad b=2\sin B,\qquad S=\frac12ab\sin C=2\sin A\sin B\sin C .$$

这个式子的好处是不必解出任何一条边的分数值，只要三个正弦。 $\sin A=\frac45$、$\sin C=\frac{\sqrt3}{2}$ 现成，$\sin B$ 仍走第三角化和角 （需要 $\cos A=\frac35$，符号依据同解法一）：$\sin B=\frac{4+3\sqrt3}{10}$。代入：

$$S=2\cdot\frac45\cdot\frac{4+3\sqrt3}{10}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4\sqrt3}{5}\cdot\frac{4+3\sqrt3}{10}$$ $$\boxed{\,S=\frac{8\sqrt3+18}{25}\,}$$

（顺便，$2R=2$ 也直接给出 $a=2\times\frac45=\frac85$、$b=2\times\frac{4+3\sqrt3}{10}=\frac{4+3\sqrt3}{5}$， 与前两条路算出的边长一致。）

三条路摆在一起

三条路都必须用到 $a\neq b$，只是用的形式不同——这也反过来印证了冷启动里那句话： 它不是多余条件，是题眼。

避坑

• 题面读错：站上转写里 $c=\sqrt3$ 与下一行的恒等式被 OCR 粘成了一条长等式。 这是本题特定的转写问题，已在校订层改正；做题时以题解图为准。
• $\sin\alpha=\sin\beta$ 只写一支。写成 $2A-\frac{\pi}{6}=2B-\frac{\pi}{6}$ 就只剩 $A=B$， 而这一支恰好被题目排除，结果是「无解」——丢的不是部分分，是整个第（Ⅰ）问。
• 写全了两族却不筛 $k$。$A+B=\frac{2\pi}{3}+k\pi$ 是一族，要用 $A+B\in(0,\pi)$ 才挑得出唯一的 $k=0$。
• $\sin A=\frac45$ 直接写 $\cos A=\frac35$。必须先说明 $A$ 是锐角 （大边对大角，或用 $A<A+B=\frac{2\pi}{3}$），否则这一步没有依据。
• 余弦定理路线忘了舍负根。$b=\frac{4\pm3\sqrt3}{5}$ 里 $\frac{4-3\sqrt3}{5}<0$， 边长不能为负。
• 面积公式的夹角用错。$S=\frac12ac\sin B$ 里的角必须是 $a$、$c$ 所夹的那个角， 也就是 $B$；写成 $\frac12ac\sin C$ 就错了。手上有哪两条边，就配哪个角。
• 把 $A+B=\frac{2\pi}{3}$ 当成能定出 $A$、$B$。本题 $A$、$B$ 各是多少始终没定 （第（Ⅱ）问加了 $\sin A$ 才定下来），第（Ⅰ）问要的只是它们的和。