三角形中三角式的取值范围

题型说明

• 常见问法：「在锐角 $\triangle ABC$ 中，已知 $\cdots$，求 $\cos A+\cos B+\cos C$ （或 $\sin A+\sin C$、$\dfrac{a+c}{b}$、$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan C}$……）的取值范围」。
• 两段式结构：第一问由一个边角混合的等式定出某个角（多半是 $\dfrac\pi3$、$\dfrac\pi6$、 $\dfrac{2\pi}{3}$ 这类特殊角）；第二问在这个角固定的前提下求一个式子的范围。 第一问是第二问的地基——角定死了，三个角才只剩一个自由度。
• 主线三步：
  1. 定角：用正弦定理做边角互化，把条件里的边全换成角（或反之），解出那个角；
  2. 降到一元：由 $A+B+C=\pi$ 把剩下两个角并成一个，目标式化成单个三角函数 （辅助角合一，或用和差化积写成 $\cos\frac{A-C}{2}$ 的样子）；
  3. 裁区间：把「三角形是锐角三角形」逐条译成不等式——每个角都要单独要求—— 取交得到自由变量的区间，最后在这个区间上读函数的值域。
• 答案的形状：区间的一端常常来自「函数的峰」（等腰或等边时取到，闭）， 另一端来自「形状退化成直角三角形」（那时不再是锐角三角形，开）。 所以答案多半是一个一开一闭的区间，开闭写错就丢分。

识别信号

• 题面出现「锐角三角形」「钝角三角形」而不只是「三角形」——这个词就是第二问区间的来源， 不是修饰语。
• 要求范围的式子是三个角（或三条边）的对称式（交换两个角不变）。这时对称换元 $A=\dfrac{A+C}{2}\pm t$ 会把它变成 $t$ 的偶函数，最值位置一眼可见。
• 式子里同时出现边与角，且没有给任何具体边长——说明它是零次齐次的，只与形状有关， 可以整体化成边的比来做。

三条常走的路

三条路必须给同一个区间——互相验算是这类题少见的免费保险。