对称换元

解题套路

1. 认出「和已定」：条件里出现 $x+y=S$（三角形的 $A+C=\pi-B$、韦达定理的两根之和、 等差数列首末两项之和……），说明两个量只有一个自由度。
2. 以和的一半为中心换元：令 $m=\dfrac S2$，写 $$x=m+t,\qquad y=m-t .$$ $x+y=S$ 于此自动成立，不必再当一个约束管着；原来的两个变量压成一个 $t$。
3. 搬范围：$x$、$y$ 各自的范围翻译成 $t$ 的范围。两侧限制取交之后，$t$ 落在一个 关于 $0$ 对称的区间 $|t|<d$（或 $\leqslant d$）——这一步不能省。
4. 读偶函数：若原式在交换 $x\leftrightarrow y$ 时不变（对称式），那么它化成的 $f(t)$ 必是偶函数。 于是只需看 $t\in[0,d)$ 一侧。最值的候选是 $t=0$（两量相等）、端点 $t\to d$（最偏）， 以及 $(0,d)$ 内部使 $f'=0$ 的点；$f$ 在 $[0,d)$ 上单调（最常见的情形）时就只剩前两处， 验一句单调方向即可定谁大谁小。

为什么好用

• 约束消失：和的条件被换元吞掉，剩下的是一个真正的一元问题，不必再解带约束的二元最值。
• 对称性变成偶性：$f(t)=f(-t)$ 使 $t=0$ 成为天生的候选极值点（不是任何偶函数都在那儿 取极值，但图象两侧同值把它推到候选席上）。只要再验一句 $f$ 在 $[0,d)$ 上的单调方向， 「两个量相等时取到极值」就是算出来的，不是背来的结论；三角形里它就是「等腰 / 等边时取到最值」。
• 端点的开闭一目了然：$t$ 的区间由原变量的范围直接翻译，$t=\pm d$ 取不取到照抄过来， 值域写成开还是闭不必再猜。
• 与「$f(t)$ 是偶函数」配套的一个副产品：$t$ 与 $-t$ 给出同一个值，所以 区间两端的函数值必然相等——图象左右对称，画一半就够。

注意

• 只有对称式才会变成偶函数。$x^2+3y$ 这类不对称的式子换元后仍含 $t$ 的一次项， 该讨论还得讨论，别以为换完元就自动只看 $t=0$。
• 范围要两侧都翻译：$x$ 的上界给出 $t$ 的一侧，$y$ 的上界给出另一侧，漏一个 $t$ 的区间就偏了。
• 和已定而积要求最值时，$xy=m^2-t^2$ 也是 $t$ 的偶函数（且随 $|t|$ 单调减）—— 这正是「和定积最大在相等处」的一行证明。
• 若已知的是差 $x-y=D$，对称换元换成「以差的一半作偏移」：$x=t+\frac D2$、$y=t-\frac D2$， 此时 $t$ 是两量的平均，套路照用。