浙江 2008 · 数学 q04

冷启动：别真去乘

题目给的是

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$

问展开式中含 $x^{4}$ 的项的系数。

第一件要想清楚的事：不必把它整个乘出来。 五个一次因式相乘，结果是一个五次多项式， 六个系数；题目只要其中一个。硬乘要做四次多项式乘法、几十次小乘法，还每一步都可能抄错符号—— 而只盯着 $x^{4}$ 这一项，下面三条路里最短的那条不到三行。

第二件要想清楚的事：最高次项一定是 $x^{5}$，系数是 $1$。 五个括号里 $x$ 的系数都是 $1$， 所以 $P$ 是首项系数为 $1$ 的五次多项式，可以写成

$$P(x)=x^{5}+c\,x^{4}+(\text{次数}\leq 3\ \text{的项})$$

要求的就是这个 $c$。

第三件：括号里交出来的常数是 $-k$，不是 $k$。 $(x-k)$ 这个括号只有两个加数：$x$ 与 $-k$。 下面三条路都要反复用到这一点，每一个负号都要带上——本题四个选项的设计正是冲着符号来的。

解法一：只有一个括号交出常数——数一数是哪一个

怎么想到的。 乘法分配律讲的就是一件事：把几个括号乘开，等于在每个括号里各取一个加数， 乘起来，再把所有取法加起来（展开式回到每个括号各取一项）。这里五个括号，每个括号两个加数， 一共 $2^{5}=32$ 种取法、$32$ 个乘积项。我们不关心全部 $32$ 项，只关心其中哪些凑出了 $x^{4}$。

① 凑出 $x^{4}$ 的取法长什么样。 每个括号要么交出 $x$（贡献一个 $x$）、要么交出常数（不贡献 $x$）。 取出的 $x$ 有几个，这一项就是几次。所以

$$\text{这一项是 }x^{4}\iff \text{恰好 }4\ \text{个括号交出 }x,\ \text{剩下 }1\ \text{个交出常数}$$

「剩下 1 个」——所以凑出 $x^{4}$ 的取法恰好有 5 种，按「是哪个括号交了常数」一一对应。

② 每一种取法贡献多少。 若交出常数的是第 $k$ 个括号 $(x-k)$，它交出的是 $-k$， 其余四个括号各交出一个 $x$，这一项就是

$$(-k)\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=(-k)\,x^{4}\qquad(k=1,2,3,4,5)$$

③ 把 5 种加起来。

$$c\,x^{4}=\sum_{k=1}^{5}(-k)\,x^{4}=-(1+2+3+4+5)\,x^{4}=-15\,x^{4}$$

所以 $c=-15$，选 A。

这条路顺手给出的一般结论。 把上面的推理里的 $1,2,3,4,5$ 换成任意 $n$ 个数 $r_{1},\dots,r_{n}$， 一模一样地得到：$\prod_{i=1}^{n}(x-r_{i})$ 展开后，$x^{n-1}$ 的系数等于所有 $r_{i}$ 之和的相反数。 这就是「根与系数的关系」在一般次数下的样子——本题不过是 $n=5$、根恰好是 $1$ 到 $5$ 的特例。 记住这一条，这道题就是一句 $-(1+2+3+4+5)=-15$。

解法二：逐步相乘，只跟着最高两项走

怎么想到的。 解法一是「一次把所有取法数清」。如果一时想不起该怎么数，还有一条笨而稳的路： 真的乘，但每一步只留最高两项。理由是：要算的是次高次项 $x^{4}$ 的系数， 而乘以一个 $(x-k)$ 时，低次项够不着次高次——把它们全扔掉不影响结果。这样每一步只有两项要写， 错不到哪里去。

① 先把「只留两项」这件事说清楚。 记

$$P_{m}(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-m)$$

它是首项系数为 $1$ 的 $m$ 次多项式，写成

$$P_{m}(x)=x^{m}+c_{m}x^{m-1}+R_{m}(x),\qquad \deg R_{m}\leq m-2$$

② 推一步。 乘上下一个括号：

$$P_{m+1}(x)=P_{m}(x)\,\bigl(x-(m+1)\bigr) =\Bigl(x^{m}+c_{m}x^{m-1}+R_{m}\Bigr)\bigl(x-(m+1)\bigr)$$

逐项看谁能产生 $x^{m}$（这是 $P_{m+1}$ 的次高次）：

• $x^{m}\cdot x=x^{m+1}$——最高次，不是它；
• $x^{m}\cdot\bigl(-(m+1)\bigr)=-(m+1)x^{m}$——算一份；
• $c_{m}x^{m-1}\cdot x=c_{m}x^{m}$——算一份；
• $c_{m}x^{m-1}\cdot\bigl(-(m+1)\bigr)$ 是 $x^{m-1}$，$R_{m}\cdot x$ 至多 $x^{m-1}$，$R_{m}\cdot$ 常数更低 ——都够不着 $x^{m}$，这正是可以把低次项整个扔掉的理由。

于是得到递推

$$c_{m+1}=c_{m}-(m+1)$$

③ 从头推到底。 起点 $P_{1}(x)=x-1$，故 $c_{1}=-1$：

$$c_{2}=-1-2=-3,\quad c_{3}=-3-3=-6,\quad c_{4}=-6-4=-10,\quad c_{5}=-10-5=-15$$

所以 $x^{4}$ 的系数是 $-15$，选 A。

顺手一看。 这串数 $1,3,6,10,15$ 正是每次多加一个数的累加和 $\frac{m(m+1)}{2}$， 即 $c_{m}=-\frac{m(m+1)}{2}$；$m=5$ 给 $-15$，与解法一的 $-(1+2+3+4+5)$ 是同一个和。 两条路在这里合流：递推每一步减掉的那个 $(m+1)$，就是解法一里「第 $m+1$ 个括号交出常数」的那一项。

解法三：平移到对称中心，再用二项式定理回读

怎么想到的。 盯着五个根 $1,2,3,4,5$ 看一眼：它们关于 $3$ 对称（$1$ 与 $5$、$2$ 与 $4$ 配对， $3$ 在正中）。碰上这种对称，把原点搬到对称中心几乎总能把式子化简—— 也就是按谁的幂展开就换谁作元：令 $y=x-3$（即 $x=y+3$），把 $P$ 先写成 $y$ 的多项式， 再回读 $x^{4}$ 的系数。

① 换元。 把 $x=y+3$ 代进五个括号，每个括号的常数各减 $3$：

$$P=(y+2)(y+1)\,y\,(y-1)(y-2)$$

② 两两配对，平方差一路到底。 $(y+2)(y-2)=y^{2}-4$，$(y+1)(y-1)=y^{2}-1$，中间剩一个 $y$：

$$P=y\,(y^{2}-1)(y^{2}-4)=y\,(y^{4}-5y^{2}+4)=y^{5}-5y^{3}+4y$$

（三行乘法就完了——这是对称换元省下来的功夫。顺带看出 $P$ 作为 $y$ 的函数是奇函数， 所以原来的五次曲线关于点 $(3,0)$ 中心对称。）

③ 换回 $x$，只读 $x^{4}$ 那一项。 把 $y=x-3$ 代回：

$$P(x)=(x-3)^{5}-5(x-3)^{3}+4(x-3)$$

三块里只有第一块能产生 $x^{4}$：$(x-3)^{3}$ 展开后最高才到 $x^{3}$，$4(x-3)$ 更低。 于是只需展开 $(x-3)^{5}$ 的那一项。由二项式定理，

$$(x-3)^{5}=\sum_{r=0}^{5}\binom{5}{r}x^{5-r}(-3)^{r}$$

要 $x^{4}$ 就取 $5-r=4$，即 $r=1$（别取成 $r=4$——那给的是 $x^{1}$）：

$$\binom{5}{1}x^{4}(-3)^{1}=5\cdot(-3)\,x^{4}=-15\,x^{4}$$

系数是 $-15$，选 A。

三条路回头看。 解法一最短，而且给出的是一条通用结论（首一多项式的次高次系数 $=-$ 根之和）， 换成 $10$ 个括号照样一行算完；代价是要把「恰好一个括号交常数」这件事想明白， 想岔了（比如以为要四个括号交常数）就会去算一个完全不同的系数。解法二最笨也最稳， 不需要任何组合计数的眼光，只要每步扔掉够不着的低次项；它的好处是顺带把别的系数也能推出来 （多跟一项就多得一个系数）。解法三最绕，但它是唯一利用了「根关于 $3$ 对称」这个特殊结构的路， 换来的是一个极简的 $y^{5}-5y^{3}+4y$——若题目接着问「$x^{2}$ 的系数」或「$P$ 的对称中心」， 这条路立刻还能再用一次，另两条路都要从头再算。

四个选项正好是这个五次多项式的另外四个系数。 把 $P$ 整个乘出来是

$$P(x)=x^{5}-15x^{4}+85x^{3}-225x^{2}+274x-120 .$$

对照选项：$-15$ 是 $x^{4}$ 的系数（答案 A），$85$ 是 $x^{3}$ 的（选项 B）， $274$ 是 $x$ 的（选项 D），$-120$ 是常数项（选项 C，也就是 $(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)$）。 换句话说，四个选项对应四个「看错了次数」的读法——这正是下面第二条避坑说的那件事。

🕳️ 避坑

• 括号交出来的是 $-k$，不是 $k$。 五个负号一个都不能少。全漏掉会算成 $+15$（不在选项里， 反而容易察觉）；只漏一两个则会得到别的数，悄悄错过去。写的时候把 $(x-k)$ 读成「$x$ 加上 $(-k)$」， 负号就跟着常数走了。
• 「要 $x^{4}$」是四个括号交 $x$、一个交常数，别数反。 数反成「四个交常数、一个交 $x$」， 算出来的是 $x^{1}$ 的系数 $274$，正是选项 D。解法三里同一个坑换了件衣服： 二项式定理里要取 $r=1$（$x^{5-r}=x^{4}$），取成 $r=4$ 得到的也是 $x$ 的系数。 先由「要的次数」反解出下标，再去查表。
• 别真把五次多项式乘出来。 不是不能算，是每多算一步就多一次抄错的机会， 而题目只要一个系数。上面那个完整展开式只用来对账，不是解法。
• 换元之后别忘了换回去。 解法三算到 $y^{5}-5y^{3}+4y$ 时，$y^{4}$ 的系数是 $0$—— 那是关于 $y$ 的系数，不是答案。必须回代 $y=x-3$，$x^{4}$ 的系数才从 $(x-3)^{5}$ 里出来。