二项展开式漏带交错符号

课本的二项式定理写的是和：

题目给的却常是差。这时候唯一正确的做法是把整个第二项（连同它的负号）当作 $b$：

于是系数是交错的：$r$ 为偶数时取正，$r$ 为奇数时取负。

为什么这个坑特别隐蔽

丢掉 $(-1)^{r}$ 之后，指数那一半的计算完全不受影响—— $r$ 还是解得对的那个 $r$，$x$ 的次数还是配得上的那个次数， 过程从头到尾看着都对，只有最后一个数的符号是反的。 自查时如果只回头验”$r$ 解得对不对""次数配得对不对”，正好绕开出错的那一处。

更坏的一种：只在最后补一个负号。 比如把 $(\sqrt{x}-x^{-1/3})^{5}$ 的常数项答成”因为原式有个减号，所以答案是负的”—— 这次碰巧蒙对（$r=3$ 是奇数），下次 $r$ 是偶数时就会反过来错。 符号不是”整体一个”，是每一项各有各的。

怎么避免

1. 换元时把负号写进括号：令 $b'=-b$，先写成 $(a+b')^{n}$ 再套公式，别心算。
2. 通项一律写全：$T_{r+1}=(-1)^{r}C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$，把 $(-1)^{r}$ 抄在最前面， 哪怕后面要约掉——写出来的东西才不会被忘。
3. 拿两端验：$r=0$ 那一项必是 $a^{n}$（正），$r=n$ 那一项必是 $(-b)^{n}$； 如果算出来的首末两项符号和这两条对不上，说明 $(-1)^{r}$ 没带对。
4. 代 $a=b=1$ 自查：$(1-1)^{n}=0$，即 $\sum_{r}(-1)^{r}C_{n}^{r}=0$。 把算出来的系数全加起来，不是 $0$ 就是符号出了问题。