浙江 2011 · 数学 q13

冷启动：先看清楚 $x$ 的指数能取到哪些值

展开 $\left(x-\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 时，每一项都是从 $6$ 个括号里各取一个因子相乘。 取 $x$ 的那些贡献 $x^{1}$，取 $-\dfrac{a}{\sqrt{x}}$ 的那些贡献 $x^{-1/2}$。 若有 $r$ 个括号取了后者，这一项的 $x$ 指数就是

$$(6-r)\cdot 1+r\cdot\left(-\frac12\right)=6-\frac{3r}{2}.$$

每把一个因子从 $x$ 换成 $-\dfrac{a}{\sqrt{x}}$，指数就降 $\dfrac32$（降掉一个 $1$、再添一个 $-\frac12$）。 所以七项的指数是一条公差为 $-\dfrac32$ 的等差数列：

$$6,\quad \frac92,\quad 3,\quad \frac32,\quad 0,\quad -\frac32,\quad -3 .$$

题目要的两项都在这条数列上：$x^{3}$ 是第三项（$r=2$），常数项 $x^{0}$ 是第五项（$r=4$）。 这一点必须先确认——落不到格点上的次数，那一项根本不存在。 （原卷题面问的是「$x$ 的系数」，而 $1$ 不在上面那七个数里；这正是本站改题面的原因，末尾一节详说。）

下面三条路。

解法一：通项的 $x$ 指数写成 $6-\frac{3r}{2}$，分别令它等于 $3$ 和 $0$

第一步：写出通项

对 $\left(x-\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 套二项式定理，取前一项为 $x$、后一项为 $-\dfrac{a}{\sqrt{x}}$、$n=6$：

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{6}^{r}\,x^{\,6-r}\left(-\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{r} =\mathrm{C}_{6}^{r}\,(-a)^{r}\,x^{\,6-r}\cdot x^{-\frac{r}{2}} =(-a)^{r}\,\mathrm{C}_{6}^{r}\,x^{\,6-\frac{3r}{2}},$$

其中 $r=0,1,2,3,4,5,6$。

负号必须跟着 $r$ 走：括号里是 $-\dfrac{a}{\sqrt x}$，整体取 $r$ 次方得 $(-a)^{r}$， 写成 $-a^{r}$ 就会让一半的项符号反掉。

第二步：$x^{3}$ 的系数 $A$

令指数等于 $3$：

$$6-\frac{3r}{2}=3\ \Longrightarrow\ \frac{3r}{2}=3\ \Longrightarrow\ r=2 .$$

$r=2$ 是 $0\le r\le 6$ 里的整数，这一项存在。代回通项：

$$A=(-a)^{2}\,\mathrm{C}_{6}^{2}=a^{2}\cdot\frac{6\times5}{2\times1}=15a^{2}.$$

第三步：常数项 $B$

令指数等于 $0$：

$$6-\frac{3r}{2}=0\ \Longrightarrow\ r=4 .$$

同样是合法的整数项号。代回通项（$\mathrm{C}_{6}^{4}=\mathrm{C}_{6}^{2}=15$）：

$$B=(-a)^{4}\,\mathrm{C}_{6}^{4}=a^{4}\cdot15=15a^{4}.$$

两个 $r$ 都是偶数，$(-a)^{r}=a^{r}$，所以 $A$、$B$ 都是正的。

第四步：解 $B=4A$

$$15a^{4}=4\cdot15a^{2}\ \Longrightarrow\ a^{4}=4a^{2}\ \Longrightarrow\ a^{2}\left(a^{2}-4\right)=0 .$$

题给 $a>0$，故 $a\neq0$，两边约掉 $a^{2}$ 得 $a^{2}=4$，即 $a=\pm2$；再由 $a>0$ 取

$$a=2 .$$

第五步：回代验一遍

$a=2$ 时 $A=15\times4=60$、$B=15\times16=240$，而 $4A=240$ ✓。

解法二：换元 $t=\sqrt{x}$，把分数指数一次化成整数指数

分数指数是这道题唯一的麻烦。把它一次性去掉。

第一步：换元

$\sqrt{x}$ 要有意义得 $x>0$，令 $t=\sqrt{x}$（于是 $t>0$），则 $x=t^{2}$、$\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac1t$：

$$\left(x-\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{6}=\left(t^{2}-\frac{a}{t}\right)^{6}.$$

$t\mapsto x=t^{2}$ 在 $t>0$ 上是一一对应，所以「求 $x$ 的某个次数的系数」可以原封不动地 翻译成「求 $t$ 的相应次数的系数」，不会多出或漏掉项。

第二步：通项——现在指数全是整数

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{6}^{r}\left(t^{2}\right)^{6-r}\left(-\frac{a}{t}\right)^{r} =(-a)^{r}\,\mathrm{C}_{6}^{r}\,t^{\,2(6-r)}\cdot t^{-r} =(-a)^{r}\,\mathrm{C}_{6}^{r}\,t^{\,12-3r}.$$

（负号仍然跟着 $r$：是 $(-a)^{r}$。）

$12-3r$ 对每个整数 $r$ 都是整数，指数取值是 $12,9,6,3,0,-3,-6$—— $r$ 是不是整数根本不用再单独检查，这是换元省下来的那道手续。

第三步：把两个目标翻译成 $t$ 的次数

$x^{3}=\left(t^{2}\right)^{3}=t^{6}$；常数项在两边都是零次项。

• 令 $12-3r=6$，得 $r=2$，于是 $A=(-a)^{2}\mathrm{C}_{6}^{2}=15a^{2}$；
• 令 $12-3r=0$，得 $r=4$，于是 $B=(-a)^{4}\mathrm{C}_{6}^{4}=15a^{4}$。

（$\mathrm{C}_{6}^{2}=\dfrac{6\times5}{2}=15$，$\mathrm{C}_{6}^{4}=\mathrm{C}_{6}^{2}=15$。）

第四步：解方程

$$B=4A:\quad 15a^{4}=60a^{2}\ \Longrightarrow\ a^{2}\left(a^{2}-4\right)=0 .$$

由 $a>0$ 得 $a^{2}=4$，$a=2$。代回验：$A=60$、$B=240=4A$ ✓。

解法三：七项全列出来——指数是等差的，要哪项直接挑

$n=6$ 只有七项，与其解两次方程，不如把整张表摆出来。

第一步：先写组合数那一行

$\mathrm{C}_{6}^{0}$ 到 $\mathrm{C}_{6}^{6}$ 依次是

$$1,\quad 6,\quad 15,\quad 20,\quad 15,\quad 6,\quad 1 .$$

（左右对称，只需算到中间：$\mathrm{C}_{6}^{1}=6$、$\mathrm{C}_{6}^{2}=\frac{6\times5}{2}=15$、$\mathrm{C}_{6}^{3}=\frac{6\times5\times4}{6}=20$。）

第二步：再写指数那一行

第 $r+1$ 项是从 $6$ 个括号里挑 $r$ 个取 $-\dfrac{a}{\sqrt{x}}$、其余取 $x$， $x$ 的指数为 $(6-r)-\dfrac r2=6-\dfrac{3r}{2}$。$r$ 每加 $1$，指数降 $\dfrac32$：

$$6,\quad \frac92,\quad 3,\quad \frac32,\quad 0,\quad -\frac32,\quad -3 .$$

第三步：配上 $(-a)^{r}$，整张表就齐了

（系数 $=(-a)^{r}\mathrm{C}_{6}^{r}$：奇数号带负号，偶数号带正号。）

第四步：从表里挑出 $A$ 与 $B$

指数那一行里 $3$ 在 $r=2$ 这一列，$0$ 在 $r=4$ 这一列：

$$A=15a^{2},\qquad B=15a^{4}.$$

第五步：解 $B=4A$

$$15a^{4}=60a^{2}\ \Longrightarrow\ a^{2}=4\ \xrightarrow{\ a>0\ }\ a=2 .$$

这张表还顺手回答了另一个问题：指数那一行里根本没有 $1$， 所以这个展开式里压根不存在「$x$ 的项」——下一节要说的就是这件事。

回头看：三件事值得带走

其一，先确认那一项存在，再去算它。 分数指数的二项式里，指数是一条等差数列（本题公差 $-\frac32$）。 想要的次数若不在数列上，那一项就不存在，题目本身就有毛病。 解法一、二里那句「$r=2$ 是整数，这一项存在」不是废话，是这道题的要害。

其二，换元能把这道检查一并省掉。 令 $t=\sqrt{x}$ 之后指数变成 $12-3r$，整数进整数出，不必再验 $r$ 的整性。 凡是括号里出现 $\sqrt{x}$、$\sqrt[3]{x}$ 这类分数次幂的，换元几乎总是划算的。

其三，负号跟着 $r$。 通项里是 $(-a)^{r}$：偶数号项为正、奇数号项为负。 本题恰好两个目标项号 $r=2,4$ 都是偶数，$A$、$B$ 同为正，$B=4A$ 才解得出正的 $a$； 若目标落在奇数号上，符号会反过来，方程也就换了样子。

原卷错在哪：题面按字面无解，本站按唯一重构改了题面

这是本站少有的一处改题面（q13-fix.md），不是排印修复，理由如下。

一、原题面按字面不成立，而且补任何一个 $n$ 都救不回来

原卷印的是

若二项式 $\left(x-\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^{n}\ (a>0)$ 的展开式中 $x$ 的系数为 $A$，常数项为 $B$，若 $B=4A$，则 $a$ 的值是＿＿＿

通项是 $T_{r+1}=(-a)^{r}\mathrm{C}_{n}^{r}x^{\,n-\frac{3r}{2}}$。

• 要「$x$ 的系数」，得 $n-\dfrac{3r}{2}=1$，即 $r=\dfrac{2n-2}{3}$；
• 要「常数项」，得 $n-\dfrac{3r}{2}=0$，即 $r=\dfrac{2n}{3}$。

这两个 $r$ 相差 $\dfrac{2n}{3}-\dfrac{2n-2}{3}=\dfrac23$。 而项号 $r$ 必须是 $0$ 到 $n$ 之间的整数，两个整数不可能相差 $\dfrac23$。 所以无论 $n$ 取哪个正整数，$A$ 与 $B$ 都不可能同时存在，$B=4A$ 无从谈起。

换个说法就是冷启动里那条等差数列：指数以 $n$ 开头、每次降 $\dfrac32$， 而 $1$ 与 $0$ 只差 $1$，落不进同一条公差为 $\dfrac32$ 的格点里。 这不是「题面漏印了 $n$」的问题——补上任何 $n$ 都不成立。

二、原卷解答自己也卡在这一步，只是没停下来

它照着写出 $r=\dfrac{2n-2}{3}$ 与 $r=\dfrac{2n}{3}$，对这两个数是不是整数一字未提； 接着那一行

$$(-a)^{\frac{2n}{3}}\mathrm{C}_{n}^{\frac{2n}{3}}=4(-a)^{\frac{2n-2}{3}}\mathrm{C}_{n}^{\frac{2n-2}{3}}$$

里的组合数上标也是非整数（组合数 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 只对整数 $k$ 有定义）。 整份解答没有任何一处给出 $n$，末尾却写出一个确定的 $a=2$。

三、能对上印出答案 $2$ 的重构只有一个

限定在「只改指数 $n$、只改所求那一项的次数」这一族重构里穷举： 让 $n$ 跑遍 $1\le n\le30$，让所求次数跑遍该展开式里实际出现的每一个指数 （含 $\frac92$、$\frac32$ 这类半整数），解 $B=4A$ 后取正根—— 结果恰有一组

$$(n,\ \text{所求次数})=(6,\ 3)$$

给出 $a=2$。（$n\le30$ 已远超高考量级：高考二项式题里 $n$ 从没超过 $10$。）

于是本站把题面改成 $\left(x-\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^{6}$、所求项改成 $x^{3}$ 的系数。 改完之后 $r=2$ 与 $r=4$ 都是正经的整数项号，上面三条解法都走得通， 答案正是原卷印着的 $2$。

四、【答案】段与【解析】段怎么处理

【答案】段保持 $2$ 不变——原卷这个数是对的，出问题的是题面。 【解析】段照录原卷：它整段按字母 $n$ 与「$x$ 的系数」来做，随原题面一起失效， 只作原始证据留存（按 ADR-0016，本题有攻略后站上不再渲染官方【解析】段）。

至于为什么不选「照留不改」：原题面按字面无解，照留等于在站上挂一道做不出来的题， 而它的答案栏又印着 $2$——读者只会以为是自己不会做。