浙江 2011 · 数学 q13

题面

13、（2011•浙江）若二项式$( x - \frac{a}{\sqrt{x}} )^{n} ( a > 0 )$）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是

13、（2011•浙江）若二项式$( x - \frac{\alpha}{\sqrt{x}} )^{n} ( a > 0 )$的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是 2考点：二项式系数的性质。

答案

2

解析

分析

利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a

解答

解：展开式的通项为$\begin{array}{r l}{| T_{r + 1} =} & {{} \big ( - a \big )^{\mathrm{r}} C_{n}^{r} x^{n - \frac{3 r}{2}}} \end{array}$

令$\begin{array}{r}{n - \frac{3 \mathcal{r}}{2} = 1} \end{array}$得$r = \frac{2 n - 2}{3}$

所以$s = c - a )^{\frac{2 n - 2}{3}} c^{\frac{2 n - 2}{3}}$

$\text{令} n - \frac{3 r}{2} = 0 \text{得} r = \frac{2 n}{3}$

$\text{所以} \mathrm{B} = (- a)^{\frac{2 n}{3}} C_{n}^{\frac{2 n}{3}}$

∵B=4A

$\therefore (- a)^{\frac{2 n}{3}} C_{n}^{\frac{2 n}{3}} = 4 (- a)^{\frac{2 n - 2}{3}} C_{n}^{\frac{2 n - 2}{3}}$

解得 a=2

故答案为：2