浙江 2009 · 数学 q04

冷启动：不必把展开式写全，只要找到那一项

题目问的是

$$\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$$

展开后含 $x^{4}$ 的那一项的系数。五次幂展开一共只有 $6$ 项，硬乘也不是不行，但没必要——这类题的标准动作是：先说清楚「第 $r$ 项长什么样」，再问「哪个 $r$ 让它的指数正好是 $4$」。

有两个细节决定这道题会不会丢分。

第一，括号里的第二块是 $-\dfrac{1}{x}$，负号是它的一部分。二项式定理里的 $b$ 必须把负号一起搬进去，于是每一项都带一个 $(-1)^{r}$，六项的符号是 $+,-,+,-,+,-$ 交错的。把负号丢在门外，算出来的系数正负全反——这道题的四个选项里 $-10$ 就摆在 $10$ 的旁边等着。

第二，$\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ 是负指数。它使得每取一次 $b$，$x$ 的总次数不是加而是减：一项里 $x^{2}$ 取得少一个、$x^{-1}$ 取得多一个，总指数就掉 $2+1=3$。于是六项的指数是

$$10,\quad 7,\quad 4,\quad 1,\quad -2,\quad -5 ,$$

一条等差往下走的链子——目标 $4$ 恰好被它命中一次，且只有一次。

解法一：写出通项，令 $x$ 的指数等于 $4$

怎么想到的。 这是这类题的通法，三句话：照定理抄下通项 → 把「要哪一项」翻成对 $r$ 的一个方程 → 解出 $r$ 回代。价值在于全程只处理一项，展开式的另外五项一眼都不用看。

① 照定理抄下通项。 二项式定理里 $a=x^{2}$、$b=-\dfrac{1}{x}$、$n=5$，括号里是什么就原样搬进来，负号和分式都不要提前展开：

$$T_{r+1}=\binom{5}{r}\left(x^{2}\right)^{5-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}, \qquad r=0,1,2,3,4,5 .$$

② 把它整理成「系数 × $x$ 的某次幂」。 负号单独拎出来，$\dfrac{1}{x}$ 写成 $x^{-1}$：

$$T_{r+1} =(-1)^{r}\binom{5}{r}\cdot x^{2(5-r)}\cdot x^{-r} =(-1)^{r}\binom{5}{r}\,x^{10-3r} .$$

指数那一步值得慢一拍：$x^{2(5-r)}\cdot x^{-r}=x^{10-2r-r}=x^{10-3r}$。

③ 令指数等于目标。 要 $x^{4}$，就是要

$$10-3r=4\ \Longrightarrow\ 3r=6\ \Longrightarrow\ r=2 .$$

$r=2$ 落在 $\{0,1,\dots,5\}$ 里，合法（解出来的 $r$ 若不是这个范围内的整数，说明展开式里根本没有这一项，答案是 $0$）。

④ 回代算系数。

$$(-1)^{2}\binom{5}{2}=1\times\frac{5\times4}{2\times1}=10 .$$

答案 B。

提醒一句： ③ 解出的是 $r=2$，于是要的是第 $3$ 项（通项的下标是 $r+1$）。这道题只问系数，序号无关紧要；但凡题目问「第几项」或者「中间项」，$r$ 与项数差 $1$ 这件事就要当心。

解法二：先通分——把 $\frac{1}{x^{5}}$ 提到括号外，指数全变成非负整数

怎么想到的。 解法一里最容易写错的，是那个两头都在动的指数 $2(5-r)-r$。如果能让括号里根本不出现负指数，这一步就只剩「一个字母的整数次幂」，心算都不会错。办法是先通分：括号里两块的公因式是 $\dfrac{1}{x}$。

① 把括号整理干净。

$$x^{2}-\frac{1}{x}=\frac{x^{3}-1}{x} \qquad\Longrightarrow\qquad \left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}=\frac{\left(x^{3}-1\right)^{5}}{x^{5}} .$$

② 把问题平移过去。 原式里的 $x^{4}$，除以 $x^{5}$ 之前是 $x^{4}\cdot x^{5}=x^{9}$。也就是说：

求原式里 $x^{4}$ 的系数 $\iff$ 求 $\left(x^{3}-1\right)^{5}$ 里 $x^{9}$ 的系数。

（系数一个不改，只是指数整体平移了 $5$。）

③ 在干净的括号里找。 $\left(x^{3}-1\right)^{5}$ 的展开式里，取了 $k$ 个 $x^{3}$ 的那一项是

$$\binom{5}{k}\left(x^{3}\right)^{k}(-1)^{5-k}=(-1)^{5-k}\binom{5}{k}x^{3k} .$$

要 $x^{9}$ 就要 $3k=9$，即 $k=3$。系数为

$$(-1)^{5-3}\binom{5}{3}=(-1)^{2}\times 10=10 .$$

答案 B。

两条路的答案为什么长得不一样却相等。 解法一写出的是 $\binom{5}{2}$，这里写出的是 $\binom{5}{3}$——它们本来就相等（$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$：挑出 $2$ 个与留下 $3$ 个是同一件事）。这也正是组合数上标写错一位最难被发现的场合：这道题里 $\binom{5}{2}$ 与 $\binom{5}{3}$ 都是 $10$，写反了照样对；换成 $n=6$，$\binom{6}{2}=15$ 而 $\binom{6}{3}=20$，写反就直接错。所以先说清楚 $k$ 数的是谁（这里数的是取到 $x^{3}$ 的个数），再往组合数里填。

这条路什么时候最划算。 括号里负指数一多（$\left(x^{3}-\frac{2}{x^{2}}\right)^{8}$ 之类），通项里的指数式子会长得让人手滑；先通分之后，括号里永远是 $\left(x^{m}\pm c\right)^{n}$ 的形状，指数是 $mk$——单调、非负、间隔固定，连「一共有几项、哪些次数出现得到」都能一眼数清。代价只是最后别忘了把提出去的 $x^{-5}$ 补回来。

解法三：回到五个括号里各取一个——组合数与符号都是数出来的

怎么想到的。 前两条路都在用二项式定理这个公式。但公式本身是从哪来的？$\left(x^{2}-\frac1x\right)^{5}$ 无非是五个一模一样的括号相乘：

$$\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right) .$$

按乘法分配律乘开，得到的每一项都是「在每个括号里各挑一块，把挑出来的五块乘起来」——一共 $2^{5}=32$ 种挑法。系数，就是「有多少种挑法凑出 $x^{4}$」。

① 一种挑法长什么样。 设五个括号里有 $j$ 个挑了 $x^{2}$，其余 $5-j$ 个挑了 $-\dfrac{1}{x}$。乘起来是

$$\left(x^{2}\right)^{j}\left(-\frac{1}{x}\right)^{5-j} =(-1)^{5-j}\,x^{2j}\,x^{-(5-j)} =(-1)^{5-j}\,x^{3j-5} .$$

注意负号是数出来的：挑了几个 $-\dfrac1x$，就带几个负号，于是符号是 $(-1)^{5-j}$。这不是一条要额外记的规则。

② 令它是 $x^{4}$。 $3j-5=4\Rightarrow j=3$：五个括号里要恰好三个出 $x^{2}$、另外两个出 $-\dfrac1x$。

③ 数有多少种挑法。 从五个括号里挑出三个来出 $x^{2}$，挑法有

$$\binom{5}{3}=10$$

种；每一种挑法贡献的都是同一个单项式，符号是 $(-1)^{5-3}=(-1)^{2}=+1$。于是

$$x^{4}\ \text{的系数}=10\times(+1)=10 .$$

答案 B。

这条路的价值。 它把公式里两个「要记」的东西都变成了「看得见」的东西：$\binom{5}{3}$ 是挑括号的种数，$(-1)^{2}$ 是负号的个数。公式一旦记混（比如记不清指数该配 $r$ 还是 $n-r$），退回这一步重新数一遍，永远不会错。

它能走多远。 括号彼此不同也照用：$(1+x)(2+x)(3+x)$ 里 $x^{2}$ 的系数，就是「三个括号里恰好两个出 $x$」的所有取法之和 $1+2+3=6$，二项式定理在这里根本套不上。代价是括号一多、项一杂，数取法会比套公式慢——所以它是理解与兜底用的路，考场上的第一选择仍是解法一。