令通项的指数等于目标

解题套路

1. 先写通项（照定理抄，别边想边化）：

   $$T_{r+1}=\mathrm{C}_{n}^{r}a^{\,n-r}b^{\,r},\qquad r=0,1,2,\dots,n$$

   $a$、$b$ 就是括号里原封不动的那两块——含根号、含 $\frac{1}{x}$、含系数都先原样搬进来，不要提前展开。

2. 把「要哪一项」翻成对 $r$ 的一句话。这一步是套路的全部：题目问的东西总能写成通项里某个指数的要求。

   题目问	翻成
   常数项	$x$ 的总次数 $=0$
   含 $x^{k}$ 的项	$x$ 的总次数 $=k$
   第 $m$ 项	$r=m-1$
   中间项 / 二项式系数最大的项	$r=\frac{n}{2}$（$n$ 偶）或 $r=\frac{n\pm 1}{2}$（$n$ 奇）
   有理项 / 整数项	根号（或分数指数）那一处的指数是整数、偶数、被 $3$ 整除……

3. 把 $x$ 的总次数算清楚。$a$、$b$ 里都可能带 $x$，指数要合并再解方程。例如 $\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{9}$ 的通项里 $x$ 的次数是 $2(9-r)-r=18-3r$，令它等于目标即可。

4. 解出 $r$ 并验它合法：$r$ 必须是 $0$ 到 $n$ 之间的整数。解出分数或越界，说明这一项不存在（答案就是「没有这样的项」或「常数项为 $0$」），不是算错了要硬凑。

5. 回代算这一项：把 $r$ 塞回 $T_{r+1}$，$\mathrm{C}_{n}^{r}$ 与数字因子一起乘出来。

一个完整的例子

求 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的常数项。通项 $T_{r+1}=\mathrm{C}_{9}^{r}(\sqrt{2})^{9-r}x^{r}$，$x$ 的次数就是 $r$，令

注意这里只解了一个方程，一项也没多算——这就是不展开的好处：$n=9$ 时展开式有 $10$ 项，逐项算是十倍的功。

三个常见失手

• 项号错一位：$T_{r+1}$ 是第 $r+1$ 项，$r$ 从 $0$ 数起。「第 $4$ 项」是 $r=3$，「常数项是第一项」时写 $T_{1}$ 而不是 $T_{0}$。
• 只算了 $b$ 里的 $x$：$a$ 那一半也常带 $x$（$\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{n}$ 这类），两处的指数必须合并。
• 解出的 $r$ 不是整数还继续算：那说明目标次数根本凑不出来，该答「不存在」。

配套的自检：把解出的 $r$ 与相邻的 $r\pm 1$ 各代一次指数式，看目标次数是不是只有这一个 $r$ 命中——命中两个说明指数式列错了。