浙江 2017 · 数学 q13

冷启动：先数清楚 $a_4$ 到底是谁的系数

题面写的是

$$(x+1)^3(x+2)^2=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$$

这是降幂写法：下标不是次数，是「从最高次往下数的第几个」。挨个对一遍：

下标与次数加起来等于 $5$。所以题目问的是：

• $a_4$ = 一次项（$x$）的系数；
• $a_5$ = 常数项。

这一步不是废话——把 $a_4$ 当成 $x^4$ 的系数去算，会得到 $7$，一个看着挺像样的错数。

看清之后，这道题的性质就变了：它问的是整条展开式里次数最低的两个系数， 而次数越低，能凑出它的项越少。左边总共只有 $4\times3=12$ 个乘积， 其中凑出常数项的只有 $1$ 个、凑出一次项的只有 $2$ 个。展开是白费力气。

解法一：只挑贡献到那一次的格子，别把式子展开

怎么想到的

两个多项式相乘，展开式里 $x^k$ 的系数，是所有次数加起来等于 $k$ 的项对的乘积之和：

$$[x^k]\big(A(x)B(x)\big)=\sum_{i+j=k}\big([x^i]A\big)\cdot\big([x^j]B\big)$$

$k$ 越小，满足 $i+j=k$ 的 $(i,j)$ 越少。$k=0$ 只有 $(0,0)$，$k=1$ 只有 $(0,1)$ 与 $(1,0)$—— 就是图①左上角那三格。这就是「只算要的那一项」的全部内容。

先把两个因式的低次项写出来

按二项式定理（升幂排，只写要用到的前两项就够）：

$$(x+1)^3=\underbrace{1}_{x^0}+\underbrace{3x}_{x^1}+3x^2+x^3, \qquad (x+2)^2=\underbrace{4}_{x^0}+\underbrace{4x}_{x^1}+x^2$$

两个常数项 $1$ 与 $4$、两个一次项系数 $3$ 与 $4$——需要的就这四个数。 （$(x+1)^3$ 的常数项是 $1^3=1$、一次项系数是 $\mathrm{C}_3^1\cdot1^2=3$； $(x+2)^2$ 的常数项是 $2^2=4$、一次项系数是 $\mathrm{C}_2^1\cdot2=4$。）

常数项：只有一条通道

要凑出 $x^0$，两边都只能取常数项：

$$a_5=1\times4=4$$

一次项：只有两条通道

要凑出 $x^1$，一边取一次项、另一边取常数项，两种搭法各算一次：

$$a_4=\underbrace{3\times4}_{3x\;\cdot\;4}+\underbrace{1\times4}_{1\;\cdot\;4x}=12+4=16$$

两条通道都要算，漏掉任何一条就少一半——这是这类题最常见的失分点。

$$\boxed{a_4=16,\qquad a_5=4}$$

为什么不必担心漏掉别的通道

有人会想：$3x^2$ 那一行、$x^2$ 那一列，会不会也漏出一点一次项来？不会。 乘积的次数是两个因子次数之和，而次数都是非负整数，所以取了 $3x^2$（次数 $2$）之后， 另一边至少还要贡献 $0$，总次数至少是 $2$，永远回不到 $1$。 图①里那条「次数 = 行 + 列」的规则把这件事说死了：低次的格子只挤在左上角， 一旦离开那个角，次数只增不减。

解法二：代零点取常数项，求一次导取一次项系数

怎么想到的

题面那个等式是恒等式——对每一个 $x$ 都成立。恒等式两边可以随便代数、也可以同时求导。 而常数项和一次项系数，恰好是「在 $x=0$ 处」最容易读出来的两个量：

$$f(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \quad\Longrightarrow\quad f(0)=a_5$$

代 $x=0$，其余每一项都带着 $x$，全部归零，只剩常数项。这是「赋值」最朴素的一次用法。

常数项：代 $x=0$

左边同样代 $x=0$：

$$a_5=f(0)=(0+1)^3(0+2)^2=1\times4=4$$

一步。连展开都不用想。

一次项系数：先求导，再代 $x=0$

一次项 $a_4x$ 求导之后变成常数 $a_4$，而更高次的项求导后仍带着 $x$，代 $0$ 还是归零：

$$f'(x)=5x^4+4a_1x^3+3a_2x^2+2a_3x+a_4 \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=a_4$$

左边按乘积的求导法则：

$$f'(x)=3(x+1)^2(x+2)^2+(x+1)^3\cdot 2(x+2)$$

代 $x=0$：

$$a_4=f'(0)=3\times1\times4+1\times2\times2=12+4=16$$

和解法一得到的 $12+4$ 是同一组数，只是这次它们来自求导法则的两项，而不是乘法表的两格。 这不是巧合：乘积求导的「左导右不导 + 左不导右导」，正对应着一次项的两条通道。

这条路什么时候更划算

• 要的是低次系数（$a_{n}$、$a_{n-1}$）时，代 $0$ 和求一次导都很轻，比挑格子还快。
• 因式多、次数杂时（比如 $(x+1)^3(x-2)^4(2x+1)^5$），乘法表要开三维，而求导法则照写不误。
• 要的是高次系数时反过来——那就得求好几次导，不如从最高次那头去数格子。

验算：干脆把整条展开式写出来

两条路都给了 $16$ 与 $4$，还想再稳一手的话，$5$ 次式也不算太长：

$$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,\qquad (x+2)^2=x^2+4x+4$$

逐项相乘再按次数合并（就是把图①那 $12$ 个格子按反对角线加起来）：

$$(x+1)^3(x+2)^2=x^5+7x^4+19x^3+25x^2+16x+4$$

对照题面的写法，$a_1=7$、$a_2=19$、$a_3=25$、$a_4=16$、$a_5=4$。 末两个正是所求。顺带看清了那个陷阱：$x^4$ 的系数是 $7$，它叫 $a_1$ 而不是 $a_4$。

再补一个几乎不花钱的旁证：代 $x=1$，左边 $2^3\times3^2=72$， 右边 $1+7+19+25+16+4=72$。对上了。

避坑清单

• $a_4$ 不是 $x^4$ 的系数。 降幂写法里下标与次数之和等于最高次，$a_4$ 配 $x^1$、$a_5$ 配 $x^0$。 算成 $x^4$ 的系数会得到 $7$——一个不会被自己看出来的错数。先在草稿上把对应关系写成一行。
• 两个空的顺序别填反。 先 $a_4$ 后 $a_5$，答案是「$16$；$4$」。
• 一次项的两条通道都要算。 只写 $3\times4=12$ 或只写 $1\times4=4$，都是漏了一半。 数一数「有几种取法凑出这个次数」，再动笔。
• 别把 $(x+2)^2$ 的常数项写成 $2$。 它是 $2^2=4$；同理 $(x+2)^2$ 的一次项系数是 $\mathrm{C}_2^1\cdot 2=4$，不是 $2$。 括号里的那个数会被乘方带上去，这是本题算错最多的一处。
• 别真的去展开。 $12$ 个乘积算下来，出错概率远高于挑三个格子，而且题目根本没问那四个高次系数。
• 求导那条路别忘了乘积法则的第二项。 只写 $3(x+1)^2(x+2)^2$ 会得到 $12$，正好是漏掉一条通道的那个错数。