浙江 2019 · 数学 q13

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2019 · 数学 q13 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

13.在二项式 (2+x)9(\sqrt{2}+x)^{9} 的展开式中，常数项是____；系数为有理数的项的个数是____.

答案

(1). 16216\sqrt{2} (2). 5

本题的知识树

1 公式 · 1 题型 · 2 套路 · 1 易错点 · 最深 2 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

一个通项两个指数 · xx 的次数定常数项，根号的次数定有不有理 · 最终答案：(1). 16216\sqrt{2} (2). 5

冷启动：两个空，两个判据

题面只有一个式子 (2+x)9(\sqrt{2}+x)^{9}，却问了两件事。先把这两件事各自翻成条件——这道题的全部难度就在别把它们搅在一起。

① 常数项是哪一项？ 「常数项」= 不含 xx 的那一项 = xx 的次数为 00 的那一项。

② 系数为有理数的项有几个？ 「系数」是把 C9r\mathrm{C}_{9}^{r} 与 (2) 某次(\sqrt{2})^{\,\text{某次}} 都乘进去之后那个数。它有不有理，只看根号被乘了几次：偶数次就化成整数，奇数次就留着一个 2\sqrt{2}。

两个判据落在同一条通项的两个不同指数上：

Tr+1=C9r(2) 9−r⏟根号的次数：定有不有理⋅x r⏟x 的次数：定是不是常数项T_{r+1}=\mathrm{C}_{9}^{r}\underbrace{(\sqrt{2})^{\,9-r}}_{\text{根号的次数：定有不有理}}\cdot\underbrace{x^{\,r}}_{x\text{ 的次数：定是不是常数项}}

所以第一空盯 rr，第二空盯 9−r9-r。这两个指数一个增一个减，没有任何理由同时满足对方的要求——图上那条虚线画的就是这件事：十个点从左上走到右下，横坐标是 xx 的次数，纵坐标是根号的次数。

教学图：一个平面直角坐标系，横轴下方标「x 的次数」、刻度 0 到 9，纵轴左侧标「根号的次数」、刻度 0 到 9，浅色网格。十个圆点落在一条从左上 (0,9) 到右下 (9,0) 的灰色虚线上，第 r 个点的坐标是 (r, 9−r)。其中横坐标为 1、3、5、7、9 的五个点是绿色实心圆点，横坐标为 0、2、4、6、8 的五个点是灰边白心的空心圆点；十个刻度数字都是灰色。虚线右上方那片空白里有两行绿字：「系数为有理数的共 5 项」「r=1,3,5,7,9」。最左上那个点 (0,9) 外面另套着一圈深蓝色的粗空心圆环，它右侧两行深蓝色字：第一行「常数项：x 的次数为 0，即 r=0，T_1 = C_9^0 (√2)^9 = 16√2」，第二行「这一项的系数带 √2，不在那 5 项里」。左下角一个白底图例框，两条：绿色实心圆点对应「根号次数为偶 ⇒ 系数有理：共 5 项」，灰色空心圆点对应「根号次数为奇 ⇒ 系数里留着 √2」。抬头两行标题：通项 T_{r+1} = C_9^r (√2)^{9−r} x^r：两个空读同一个点的两个坐标；常数项看 x 的次数（取 0），系数有没有理看根号的次数（9−r 的奇偶）。

解法一：写出通项，两个空各让一个指数满足要求

① 抄通项。 二项式定理里 a=2a=\sqrt{2}、b=xb=x、n=9n=9，照抄：

Tr+1=C9r(2) 9−rx r,r=0,1,2,…,9T_{r+1}=\mathrm{C}_{9}^{r}(\sqrt{2})^{\,9-r}x^{\,r},\qquad r=0,1,2,\dots,9

（aa 是前一块、bb 是后一块，指数 n−rn-r 配 aa、rr 配 bb。顺序拿反是这一步唯一的风险，下面第 ⑤ 步给一个当场自检。）

② 第一空：令 xx 的次数为 00。 xx 的次数就是 rr，所以

r=0⟹T1=C90(2)9x0=(2)9r=0\quad\Longrightarrow\quad T_{1}=\mathrm{C}_{9}^{0}(\sqrt{2})^{9}x^{0}=(\sqrt{2})^{9}

把 (2)9(\sqrt{2})^{9} 算出来——别硬开根号，按偶数次配对：

(2)9=(2)8⋅2=[(2)2]4⋅2=242=162(\sqrt{2})^{9}=(\sqrt{2})^{8}\cdot\sqrt{2}=\left[(\sqrt{2})^{2}\right]^{4}\cdot\sqrt{2}=2^{4}\sqrt{2}=16\sqrt{2} 常数项=162\boxed{\text{常数项}=16\sqrt{2}}

顺带记住这个反差：常数项的系数 16216\sqrt{2} 是无理数。第一空的答案自己就不满足第二空的条件——题目就是这么设计的。

③ 第二空：令根号的次数为偶数。 第 r+1r+1 项的系数是

C9r(2) 9−r\mathrm{C}_{9}^{r}(\sqrt{2})^{\,9-r}

C9r\mathrm{C}_{9}^{r} 永远是正整数，所以有不有理全看 (2) 9−r(\sqrt{2})^{\,9-r}：

  • 9−r9-r 偶 ⇒\Rightarrow (2) 9−r=2(9−r)/2(\sqrt{2})^{\,9-r}=2^{(9-r)/2} 是整数 ⇒\Rightarrow 系数有理；
  • 9−r9-r 奇 ⇒\Rightarrow (2) 9−r=2(8−r)/22(\sqrt{2})^{\,9-r}=2^{(8-r)/2}\sqrt{2}，是「正整数 ×2\times\sqrt{2}」⇒\Rightarrow 系数无理。

于是条件是 9−r9-r 为偶数，即 rr 为奇数：

r=1,3,5,7,9(共 5 个)r=1,3,5,7,9\quad(\text{共 }5\text{ 个})

对应 T2,T4,T6,T8,T10T_{2},T_{4},T_{6},T_{8},T_{10}，

系数为有理数的项有 5 个\boxed{\text{系数为有理数的项有 }5\text{ 个}}

④ 把这 5 项的系数摊开看一眼（不必写在答卷上，但看一次就再也不会记反）：

rr9−r9-r系数 C9r(2)9−r\mathrm{C}_{9}^{r}(\sqrt{2})^{9-r}有理？
00991⋅162=1621\cdot 16\sqrt{2}=16\sqrt{2}✗
11889⋅24=1449\cdot 2^{4}=144✓
227736⋅82=288236\cdot 8\sqrt{2}=288\sqrt{2}✗
336684⋅23=67284\cdot 2^{3}=672✓
4455126⋅42=5042126\cdot 4\sqrt{2}=504\sqrt{2}✗
5544126⋅22=504126\cdot 2^{2}=504✓
663384⋅22=168284\cdot 2\sqrt{2}=168\sqrt{2}✗
772236⋅2=7236\cdot 2=72✓
88119⋅2=929\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}✗
99001⋅1=11\cdot 1=1✓

十项奇偶交替，有理与无理各 55 项——「55」也可以这么数出来：0∼90\sim 9 共 1010 个整数，奇数正好一半。

⑤ 两个自检（填空题没有过程分，这两步别省）。

  • 通项方向验一次：r=9r=9 那一项应当是 x9x^{9}，代进去 T10=C99(2)0x9=x9T_{10}=\mathrm{C}_{9}^{9}(\sqrt{2})^{0}x^{9}=x^{9} ✓；r=0r=0 那一项应当不含 xx，T1=(2)9T_{1}=(\sqrt{2})^{9} ✓。两头都对，说明 aa、bb 没拿反。
  • 常数项的量级验一次：162≈22.616\sqrt{2}\approx 22.6。而 (2)9=24.5(\sqrt{2})^{9}=2^{4.5}，介于 24=162^{4}=16 与 25=322^{5}=32 之间 ✓。若算成 828\sqrt{2} 或 32232\sqrt{2}，这一眼就能拦住。

这条路的动作：写通项 → 圈出两个指数 → 第一空解 rr，第二空判 9−r9-r 的奇偶。

解法二：把展开式劈成「有理部分 + 2×+\ \sqrt{2}\times 有理部分」

第二空还有一条更结构化的走法，顺便把「为什么不会互相抵消」这件事说透。

① 按根号次数的奇偶分堆。 把 1010 项分成两堆：9−r9-r 偶的进 PP 堆，9−r9-r 奇的进 QQ 堆。奇的那堆每一项都能提出一个 2\sqrt{2}，于是

(2+x)9=P(x)+2 Q(x)(\sqrt{2}+x)^{9}=P(x)+\sqrt{2}\,Q(x)

其中

P(x)=∑r 奇C9r 29−r2xr,Q(x)=∑r 偶C9r 28−r2xrP(x)=\sum_{r\ \text{奇}}\mathrm{C}_{9}^{r}\,2^{\frac{9-r}{2}}x^{r}, \qquad Q(x)=\sum_{r\ \text{偶}}\mathrm{C}_{9}^{r}\,2^{\frac{8-r}{2}}x^{r}

PP、QQ 的系数全是正整数（C9r\mathrm{C}_{9}^{r} 与 22 的整数次幂之积）。

② 有理项就是 PP 里的项。 展开式里每个 xrx^{r} 只出现一次（rr 两两不同，没有同类项可合并），所以 PP 与 QQ 的项不会碰面：PP 贡献的项系数是整数、有理；QQ 贡献的项系数是「正整数 ×2\times\sqrt{2}」、无理。

数一下 PP 的项数：rr 取 1,3,5,7,91,3,5,7,9，共 55 项。第二空得 55。

③ 顺手把第一空也读出来。 常数项即 x0x^{0} 项，r=0r=0 是偶数，落在 QQ 堆里，所以它的系数带 2\sqrt{2}：

Q(x) 的常数项=C90 24=16⟹原式的常数项=162Q(x)\ \text{的常数项}=\mathrm{C}_{9}^{0}\,2^{4}=16 \quad\Longrightarrow\quad \text{原式的常数项}=16\sqrt{2}

与解法一一致 ✓。

④ 这种劈法的用处。 P+2QP+\sqrt{2}Q 这个形式说明：(2+x)9(\sqrt{2}+x)^{9} 的每一项要么「纯有理」要么「纯 2\sqrt{2} 倍」，不存在两者混在同一项里的情况。这也解释了为什么能「逐项判、不用担心抵消」——严谨性就落在「每个 xrx^{r} 只出现一次」这一句上。同类的题若括号里两块都含 xx（如 (2x+1x)9\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{x}\right)^{9}），先算 xx 的总次数、确认各项次数互不相同，再逐项判。

这条路的动作：把展开式按无理因子的奇偶劈成两块，有理项数 = 有理那块的项数。

避坑

坑错在哪正确
第一空填 11把「常数项」当成了 x9x^{9} 那一项的系数，或误以为常数项就是不含根号的项xx 的次数为 00 即 r=0r=0，T1=(2)9=162T_{1}=(\sqrt{2})^{9}=16\sqrt{2}
第一空填 (2)9(\sqrt{2})^{9} 不化简答案要求最简按偶次配对：(2)9=242=162(\sqrt{2})^{9}=2^{4}\sqrt{2}=16\sqrt{2}
第一空填 828\sqrt{2} 或 32232\sqrt{2}29/22^{9/2} 的整数部分数错了一次幂9=8+19=8+1，28/2=24=162^{8/2}=2^{4}=16
第二空填 66把常数项也算进有理项常数项处 9−0=99-0=9 为奇，系数 16216\sqrt{2} 无理，不算
第二空填 44只数了 r=3,5,7,9r=3,5,7,9 之类，漏了 r=1r=1rr 从 11 起的奇数：1,3,5,7,91,3,5,7,9
直接背「rr 取奇数」这是 n=9n=9 时的结论，nn 为偶数时正好反过来每题从 n−rn-r 的奇偶重新推
通项写成 C9r(2)rx 9−r\mathrm{C}_{9}^{r}(\sqrt{2})^{r}x^{\,9-r}aa、bb 的指数配错a=2a=\sqrt{2} 配 9−r9-r、b=xb=x 配 rr；用 r=9r=9 应得 x9x^{9} 验一眼
把项数答成项号问「有几个项」不是问「第几项」是 T2,T4,T6,T8,T10T_{2},T_{4},T_{6},T_{8},T_{10} 这 55 个

三句话收尾：

  • 一条通项，两个指数，各管一件事：xx 的次数管「是不是常数项」，根号的次数管「系数有不有理」。
  • 常数项的系数完全可以是无理数——本题的两个答案 16216\sqrt{2} 与 55 正是这个反差的产物。
  • 不必展开：n=9n=9 有 1010 项，逐项算是十倍的功；解一个方程、判一次奇偶就够了。

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