浙江 2019 · 数学 q13

题面

13.在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是____；系数为有理数的项的个数是____。

13.在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是____；系数为有理数的项的个数是____.

答案

(1). $16\sqrt{2}$ (2). 5

解析

分析

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察 $x$ 的幂指数，使问题得解.

$(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的通项为 $T_{r+1}=C_{9}^{r}(\sqrt{2})^{9-r}x^{r}(r=0,1,2\cdots9)$

可得常数项为 $T_{1}=C_{9}^{0}(\sqrt{2})^{9}=16\sqrt{2}$ ，

因系数为有理数， $r=1,3,5,7,9$ ，有 $T_{2},T_{4},T_{6},T_{8},T_{10}$ 共5个项

【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.