浙江 2018 · 数学 q14

这道题在问什么

$$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2x}\right)^{8}$$

的展开式里，不含 $x$ 的那一项是多少——也就是 $x^0$ 的系数，常数项。

$8$ 次展开一共 $9$ 项，把每一项都写出来再找常数，又慢又容易漏。要的只有一项，动作是：写出通项，令那个 $x$ 的指数等于 $0$，解出项号，再把这一项算完。

解法一：通项令 $x$ 的指数为 $0$

怎么想到的。 二项式定理给了通项

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{n}^{r}a^{\,n-r}b^{r},\qquad r=0,1,\dots,n.$$

这里 $n=8$，$a=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$，$b=\dfrac{1}{2x}=\dfrac12 x^{-1}$。两块都先原样搬进来，不要提前拆。

① 写出通项，把 $x$ 的指数收在一起。

$$T_{r+1} =\mathrm{C}_{8}^{r}\bigl(x^{1/3}\bigr)^{8-r}\left(\frac12 x^{-1}\right)^{r} =\mathrm{C}_{8}^{r}\cdot x^{(8-r)/3}\cdot\left(\frac12\right)^{r}x^{-r} =\mathrm{C}_{8}^{r}\left(\frac12\right)^{r}x^{\frac{8-r}{3}-r}.$$

指数再通分：

$$\frac{8-r}{3}-r=\frac{8-r-3r}{3}=\frac{8-4r}{3}.$$

所以

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{8}^{r}\left(\frac12\right)^{r}x^{\frac{8-4r}{3}}.$$

② 令指数为 $0$，解 $r$。 常数项就是 $x^0$ 那一项：

$$\frac{8-4r}{3}=0\implies 8-4r=0\implies r=2.$$

$r=2$ 落在 $0,1,\dots,8$ 里面，这一项真的存在，而且只有这一项。

③ 回代算这一项。

$$T_{3}=\mathrm{C}_{8}^{2}\left(\frac12\right)^{2}=\frac{8\times7}{2\times1}\cdot\frac14=28\cdot\frac14=7.$$

常数项是 $7$。

自检两处。

• 指数：把 $r=2$ 代回 $\dfrac{8-4r}{3}=\dfrac{8-8}{3}=0$，确实是 $x^0$。
• 系数：$\mathrm{C}_{8}^{2}=28$ 是二项式系数；题目要的是这一项的系数，还要乘上 $\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}$。停在 $28$ 就是把两种「系数」混了。$28/4=7$，是整数，填空题里也合理。

解法二：先换成 $t=x^{1/3}$ 再令 $t$ 的指数为 $0$

怎么想到的。 括号里一块是立方根、一块是 $1/x$，指数 $\tfrac13$ 和 $-1$ 不像，通项里通分容易写错。令 $t=x^{1/3}$（于是 $x=t^{3}$、$x^{-1}=t^{-3}$），两块都变成 $t$ 的整数次幂，指数变成小学减法。

① 换元。

$$\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2x}=t+\frac{1}{2t^{3}}=t+\frac12 t^{-3}.$$

展开式变成

$$\left(t+\frac12 t^{-3}\right)^{8}.$$

② 通项，令 $t$ 的指数为 $0$。

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{8}^{r}\,t^{8-r}\left(\frac12 t^{-3}\right)^{r} =\mathrm{C}_{8}^{r}\left(\frac12\right)^{r}t^{8-r-3r} =\mathrm{C}_{8}^{r}\left(\frac12\right)^{r}t^{8-4r}.$$

$t^{8-4r}=t^{0}$ 当且仅当 $8-4r=0$，仍是 $r=2$。因为 $t=x^{1/3}$， $t$ 的 $0$ 次就是 $x$ 的 $0$ 次，要的还是常数项。

③ 回代。 与解法一同一项：

$$T_{3}=\mathrm{C}_{8}^{2}\cdot\frac14=7.$$

这两条路差在哪。 解法一直接在 $x$ 的分数指数上通分，少写一个字母，但 $\tfrac{8-r}{3}-r$ 这一步最容易漏掉 $1/x$ 贡献的 $-r$。解法二先把指数换成整数，代价是多一个字母 $t$，换来的是 $8-r-3r$ 这种不会通分的减法。指数一乱就换元，指数本来就干净就直算。

记一句话版本：要哪一次幂，就令通项里那个字母的指数等于它，解出 $r$，只算这一项。

本题两处常见的即时错法（写在正文、不进图谱）：

• 指数写成 $\dfrac{8-r}{3}$ 就停，忘了 $\bigl(\tfrac{1}{2x}\bigr)^{r}$ 还贡献 $-r$，于是解出 $r=8$，再往下算就整项错了。
• 算出 $\mathrm{C}_{8}^{2}=28$ 就填 $28$——那是二项式系数，还没乘 $\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}$。

故答案为 $7$。