二项式定理

教材原文

$$(a + b) ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} a ^ {n} + \mathrm{C} _ {n} ^ {1} a ^ {n - 1} b ^ {1} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {k} a ^ {n - k} b ^ {k} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {n} b ^ {n}, n \in \mathbf {N} ^ {*}.\tag{1}$$

公式（1）叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做 $(a+b)^{n}$ 的二项展开式，其中各项的系数 $C_{n}^{k}(k=0,1,2,\cdots,n)$ 叫做二项式系数。式中的 $C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$ 叫做二项展开式的通项，用 $T_{k+1}$ 表示，即通项为展开式的第 $k+1$ 项：

$T _ {k + 1} = \mathrm{C} _ {n} ^ {k} a ^ {n - k} b ^ {k}.$

要点

• 通项是主力：要哪一项，就令 $a$ 的指数（或 $b$ 的指数）等于想要的数，解出 $k$，再把 $T_{k+1}$ 算出来。不必把整个展开式写出来。

• 下标错一位是最常见的失手：$T_{k+1}$ 是第 $k+1$ 项，$k$ 从 $0$ 数起。「第 $4$ 项」对应 $k=3$。

• 二项式系数 $\mathrm{C}_n^k$ ≠ 项的系数（教材专门点了这一句）：$(1+2x)^7$ 第 $4$ 项的二项式系数是 $\mathrm{C}_7^3=35$，而那一项的系数是 $\mathrm{C}_7^3\cdot2^3=280$。题目问哪一个，看清楚。

• 常用的两个特例：

  $$(1+x)^n=\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1x+\dots+\mathrm{C}_n^nx^n$$

  以及把 $b$ 换成 $-b$：$(a-b)^n$ 的第 $k+1$ 项带 $(-1)^k$，负号跟着 $k$ 的奇偶交替。

与「赋值」配套用

展开式 $(a+b)^n=\sum a_kx^k$ 里，各项系数的和用不着逐个算：

注意每一行都含 $a_0$——题目若问「$a_1+\dots+a_n$」，得先单独把 $a_0$ 求出来减掉。