浙江 2020 · 数学 q12

冷启动：这道题的算量几乎为零，全部难度在一行对应关系上

题面写的是

$$(1+2x)^{5}=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+a_{5}x^{4}+a_{6}x^{5} .$$

请盯着这一行看清楚一件事：它是升幂排列，可下标是从 $a_{1}$ 起的。 于是 $a_{1}$ 挂常数项、$a_{2}$ 挂 $x^{1}$、…… 一路下来

$$a_{k}\ \text{配的是}\ x^{\,k-1},\qquad\text{下标比次数大 }1 .$$

把六项的对应关系摆成一张表，两空要哪一个一眼可取：

第一空要的 $a_{5}$ 在 $x^{4}$ 那一列，是 $80$——不是 $x^{5}$ 那一列的 $32$。 第二空要的是头三个连号的系数，$1+10+40=51$。

对应关系是从题面那一行直接读出来的，不靠猜；不过还是值得拿两头快检一次： $a_{1}$ 是常数项（下标最小、次数为 $0$），$a_{6}$ 是最高次项（下标最大、次数为 $5$）。 两头都差 $1$，说明没有把下标数反——这是一道快检，不是证明，真正的依据是上面逐项念出来的那一遍。

下面三条路，分别用通项、用硬乘、用求导，各自把这六个系数算一遍。

解法一：用通项，先把「下标配哪个次数」写成一行

第一步：写出通项

对 $(1+2x)^{5}$ 套二项式定理，取 $a=1$、$b=2x$、$n=5$：

$$T_{r+1}=\mathrm{C}_{5}^{r}\cdot 1^{\,5-r}\cdot(2x)^{r}=2^{r}\,\mathrm{C}_{5}^{r}\,x^{r}, \qquad r=0,1,2,3,4,5 .$$

也就是说，展开式里 $x^{r}$ 的系数是 $2^{r}\mathrm{C}_{5}^{r}$。

第二步：把这个 $r$ 和题面的下标对上

题面写的是 $(1+2x)^{5}=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+a_{5}x^{4}+a_{6}x^{5}$， 逐项念一遍：$a_{1}$ 后面不带 $x$（即 $x^{0}$）、$a_{2}$ 后面是 $x^{1}$、$a_{3}$ 后面是 $x^{2}$…… 所以 $x^{r}$ 的系数在题面里叫 $a_{r+1}$：

$$a_{r+1}=2^{r}\,\mathrm{C}_{5}^{r}\qquad\Longleftrightarrow\qquad a_{k}=2^{\,k-1}\,\mathrm{C}_{5}^{\,k-1}.$$

上面那一行 $a_{r+1}=2^{r}\mathrm{C}_{5}^{r}$ 是逐项念出来的，对每个 $r$ 都成立，本身已经是结论； 下面这两下只是快检，防的是「把下标数反了」这一种错，不承担证明责任： $k=1$ 给 $a_{1}=2^{0}\mathrm{C}_{5}^{0}=1$，而把 $x=0$ 代进题面左边得 $(1+0)^{5}=1$ ✓； $k=6$ 给 $a_{6}=2^{5}\mathrm{C}_{5}^{5}=32$，而 $(2x)^{5}=32x^{5}$ ✓。 若真把对应关系数反（写成 $a_{k}=2^{k}\mathrm{C}_{5}^{k}$），这两下立刻就会露馅。

第三步：第一空

$k=5$，所以 $r=k-1=4$，配的是 $x^{4}$：

$$a_{5}=2^{4}\,\mathrm{C}_{5}^{4}=16\times\frac{5!}{4!\,1!}=16\times5=80 .$$

第四步：第二空

$$a_{1}=2^{0}\mathrm{C}_{5}^{0}=1\times1=1,\qquad a_{2}=2^{1}\mathrm{C}_{5}^{1}=2\times5=10,\qquad a_{3}=2^{2}\mathrm{C}_{5}^{2}=4\times\frac{5\times4}{2}=4\times10=40 ,$$ $$a_{1}+a_{2}+a_{3}=1+10+40=51 .$$

第五步：把六个系数补全，代 $x=1$ 校验

$$a_{4}=2^{3}\mathrm{C}_{5}^{3}=8\times10=80,\qquad a_{5}=80,\qquad a_{6}=2^{5}\mathrm{C}_{5}^{5}=32 .$$

题面是一个恒等式，代 $x=1$ 两边必须相等：

$$\text{左边}=(1+2)^{5}=3^{5}=243,\qquad \text{右边}=1+10+40+80+80+32=243\ \checkmark .$$

六个系数一次性验过，两空的答案 $80$ 与 $51$ 都站得住。

解法二：一个组合数都不用——平方、再平方、再乘一次

$5=2+2+1$，所以把 $(1+2x)^{5}$ 拆成「平方两次再乘一次」，全程只做多项式乘法。

第一步：先平方

$$(1+2x)^{2}=1+2\cdot(2x)+(2x)^{2}=1+4x+4x^{2}.$$

第二步：再平方，得四次幂

$$(1+2x)^{4}=\bigl(1+4x+4x^{2}\bigr)^{2}.$$

逐次数收集（把 $1,\,4x,\,4x^{2}$ 记作三项，两两相乘）：

• $x^{0}$：$1\times1=1$；
• $x^{1}$：$2\times(1\times4x)=8x$；
• $x^{2}$：$2\times(1\times4x^{2})+(4x)^{2}=8x^{2}+16x^{2}=24x^{2}$；
• $x^{3}$：$2\times(4x\times4x^{2})=32x^{3}$；
• $x^{4}$：$(4x^{2})^{2}=16x^{4}$。

$$(1+2x)^{4}=1+8x+24x^{2}+32x^{3}+16x^{4}.$$

第三步：再乘一个 $(1+2x)$

把上式每一项分别乘 $1$ 和乘 $2x$（乘 $2x$ 的那一路次数升一格），同次数相加：

$$\begin{aligned} x^{0}&:\ 1\\ x^{1}&:\ 8+2\times1=10\\ x^{2}&:\ 24+2\times8=40\\ x^{3}&:\ 32+2\times24=80\\ x^{4}&:\ 16+2\times32=80\\ x^{5}&:\ 2\times16=32 \end{aligned}$$ $$(1+2x)^{5}=1+10x+40x^{2}+80x^{3}+80x^{4}+32x^{5}.$$

第四步：与题面逐项对号

题面把同一个多项式写成

$$a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+a_{5}x^{4}+a_{6}x^{5}.$$

两式是同一个多项式，同次数的系数必须相等，把两行摞在一起从左往右念即可：

$$a_{1}=1,\quad a_{2}=10,\quad a_{3}=40,\quad a_{4}=80,\quad a_{5}=80,\quad a_{6}=32 .$$

这条路的好处是不必记「下标比次数大 $1$」：两串式子并排一放，谁对谁自己就显出来了。

第五步：两空与校验

$$a_{5}=80,\qquad a_{1}+a_{2}+a_{3}=1+10+40=51 .$$

代 $x=1$ 校验：$(1+2)^{5}=243$，而 $1+10+40+80+80+32=243$ ✓。

解法三：把系数当成麦克劳林系数，$a_{k}$ 就是 $f^{(k-1)}(0)/(k-1)!$

第一步：为什么求导能把系数一个个抠出来

记 $f(x)=(1+2x)^{5}$。题面说

$$f(x)=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+a_{5}x^{4}+a_{6}x^{5}$$

对每一个 $x$ 都成立，所以两边可以一起求导。对右边求 $r$ 次导再代 $x=0$： 次数低于 $r$ 的项被导没了，次数高于 $r$ 的项都还带着 $x$、代 $0$ 归零， 只剩 $x^{r}$ 那一项留下 $r!$ 倍的系数。也就是

$$\bigl[x^{r}\ \text{的系数}\bigr]=\frac{f^{(r)}(0)}{r!} .$$

而题面里 $x^{r}$ 的系数叫 $a_{r+1}$，于是

$$\boxed{\ a_{r+1}=\frac{f^{(r)}(0)}{r!}\ }\qquad\text{即}\qquad a_{k}=\frac{f^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}.$$

这条式子自带对齐：左边下标 $k$、右边求导 $k-1$ 次，那个「差 $1$」是写在式子里的，想错位都难。

第二步：逐次求导

每求一次导，指数降 $1$、前面乘上「原指数 $\times 2$」（$2$ 是 $1+2x$ 对 $x$ 的导数）：

$$\begin{aligned} f(x)&=(1+2x)^{5}, & f(0)&=1;\\ f'(x)&=5\cdot2\,(1+2x)^{4}=10(1+2x)^{4}, & f'(0)&=10;\\ f''(x)&=10\cdot4\cdot2\,(1+2x)^{3}=80(1+2x)^{3}, & f''(0)&=80;\\ f'''(x)&=80\cdot3\cdot2\,(1+2x)^{2}=480(1+2x)^{2}, & f'''(0)&=480;\\ f^{(4)}(x)&=480\cdot2\cdot2\,(1+2x)=1920(1+2x), & f^{(4)}(0)&=1920 . \end{aligned}$$

第三步：两空

第一空要 $a_{5}$，按上面的式子取 $k=5$，即求导 $4$ 次：

$$a_{5}=\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{1920}{24}=80 .$$

第二空要 $a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$，即求导 $0$、$1$、$2$ 次：

$$a_{1}=\frac{f(0)}{0!}=1,\qquad a_{2}=\frac{f'(0)}{1!}=10,\qquad a_{3}=\frac{f''(0)}{2!}=\frac{80}{2}=40 ,$$ $$a_{1}+a_{2}+a_{3}=51 .$$

第四步：校验

补上剩下两个：$a_{4}=\dfrac{f'''(0)}{3!}=\dfrac{480}{6}=80$； 再求一次导得 $f^{(5)}(x)=1920\cdot2=3840$（常数），故 $a_{6}=\dfrac{3840}{5!}=\dfrac{3840}{120}=32$。 六个系数是 $1,10,40,80,80,32$，代 $x=1$：$3^{5}=243=1+10+40+80+80+32$ ✓。

回头看：这道题只考一件事，而那件事恰好没有快捷判断法

其一，题面的写法是个少见的第三种。 平时见到的展开式只有两种：

平时那条「没有 $a_{0}$ 就是降幂」的快捷判断，在这道题上会给出错的答案。 真正靠得住的只有一件事：把题面那一行原样抄下来，在每个 $a_{k}$ 头顶标上它挂的次数， 再拿常数项和最高次项两头各验一次。

其二，第二空问的是三个连号的系数，赋值法帮不上忙。 赋值法求系数和一次代入能给出的是整组的和：

$$f(1)=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{6}=3^{5}=243,\qquad f(-1)=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-a_{6}=(-1)^{5}=-1 ,$$

两式相加除以 $2$ 得奇下标那一组 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=121$， 相减除以 $2$ 得偶下标那一组 $a_{2}+a_{4}+a_{6}=122$。 可题目要的 $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ 是连着的三个，既不是全体、也不是按奇偶分的一组， 代任何一个 $x$ 都凑不出来——只能把这三个系数各算一遍。 （$f(1)=243$ 这一下仍然值得做：当校验用，六个系数一次全过一遍。）

原卷错在哪

本站校订层的【答案】段写的是「$80$；$51$」，而原卷【解析】末尾写的是 $122$。 问题不止一处：

1. 答非所问。 题面第二空问的是 $a_{1}+a_{2}+a_{3}$，【解析】末尾算的却是 $a_{1}+a_{3}+a_{5}$——下标整个换了一组，不是抄错一个数那种笔误。
2. 连它自己写的那个和也算错了。 它写 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=2^{1}\mathrm{C}_{5}^{1}+2^{3}\mathrm{C}_{5}^{3}+2^{5}\mathrm{C}_{5}^{5}=122$。 可 $2^{1}\mathrm{C}_{5}^{1}$、$2^{3}\mathrm{C}_{5}^{3}$、$2^{5}\mathrm{C}_{5}^{5}$ 分别是 $x^{1}$、$x^{3}$、$x^{5}$ 的系数，按题面的对应它们叫 $a_{2}$、$a_{4}$、$a_{6}$。 换句话说，$122$ 其实是 $a_{2}+a_{4}+a_{6}$，而 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=1+40+80=121$。 上一节用 $f(\pm1)$ 算出的正是这两个数：$121$ 与 $122$——它把偶下标那一组的值， 安到了奇下标那一组的名下。根子还是「下标比次数大 $1$」没对上。
3. 第一空它是对的，而且用的正是正确的对应。 它令 $r=4$ 得 $T_{5}=2^{4}\mathrm{C}_{5}^{4}x^{4}=80x^{4}$，然后写「故 $a_{5}=80$」—— 这一步认的就是「$a_{5}$ 配 $x^{4}$」。可下一行又把 $a_{k}$ 当成了 $x^{k}$ 的系数。 同一份解析，前后两行用了两套互相矛盾的对应关系。
4. 正确答案：六个系数是 $1,10,40,80,80,32$（代 $x=1$ 得 $243=3^{5}$，校验通过）， 故第一空 $a_{5}=80$、第二空 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=51$。

原卷【解析】段照原样留在校订层里，只作证据，不作依据。