5.1.2 导数的概念及其几何意义

上一小节摆了两个来自不同学科的问题：跳水运动员的瞬时速度，和抛物线的切线斜率。 两条路走下来，做的动作一模一样——先算一个”平均”的比值，再让分母趋于零。 这一小节做的事，就是把这个共同的动作抽出来命名，叫做导数； 再回过头去问：它在图上长什么样。

课本的顺序是”定义 → 例题 → 几何意义 → 例题 → 导函数”。这里换一个顺序： 先把一个式子（差商的极限）立住，再一次讲清它的两种读法（变化率与斜率）， 最后专讲这一节唯一的新工具——用导数的正负和大小去读一张图。 因为这一节的题只有两类：照定义算一个数，和看图说话。

一、一个式子：平均变化率与它的极限

对于函数 $y=f(x)$，设自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$，函数值相应地从 $f(x_0)$ 变到 $f(x_0+\Delta x)$， 记

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$

比值

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

叫做 $f(x)$ 从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$ 的平均变化率。

如果当 $\Delta x\to 0$ 时这个比值无限趋近于一个确定的值，就说 $f$ 在 $x=x_0$ 处可导， 把那个确定的值叫做 $f$ 在 $x_0$ 处的导数（也叫瞬时变化率），记作 $f'(x_0)$ 或 $y'\big|_{x=x_0}$：

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

三件事要抠清楚：

• $\Delta x$ 可正可负，但不能等于 $0$（它在分母上）。“趋近于 $0$“与”等于 $0$“是两回事， 这正是要取极限而不是直接代入的原因；
• $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 都是”变化量”，不是”值”。$\Delta y$ 可正可负可零；
• 平均变化率是一段上的量，导数是一点上的量。题目问”从 1 变到 1.1 的平均变化率”就别求导， 问”在 $x=1$ 处的导数”就别去算差商然后停在那儿。这两问经常并排出现，专治混淆。

按定义求导数的三步

这一节还没有求导公式，全部计算都靠定义。三步，每一步都有固定写法：

1. 算 $\Delta y$：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，展开、把不含 $\Delta x$ 的常数项抵消掉；
2. 算 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$：分子每一项都带 $\Delta x$，约掉之后不再有分母；
3. 令 $\Delta x\to 0$：把剩下的式子里的 $\Delta x$ 换成 $0$。

关键在第 2 步：必须先把 $\Delta x$ 约掉，再取极限。不约就代 $0$ 会得到 $\dfrac00$，什么也说明不了。 分子里凑不出 $\Delta x$ 时，就通分（遇到分式）或有理化（遇到根式）。

二、两种读法：瞬时变化率与切线斜率

同一个 $f'(x_0)$，在不同语境里读法不同，但算法只有一个。

读法一：瞬时变化率。 路程对时间求导是速度，速度对时间求导是加速度， 温度对时间求导是温度变化的快慢，面积对半径求导是面积随半径变化的快慢。 单位是”$y$ 的单位／$x$ 的单位”，写实际意义时必须带上，还要说清方向 （正是增加、负是减少）。

读法二：切线斜率。 在曲线 $y=f(x)$ 上取定点 $P_0(x_0,f(x_0))$ 与动点 $P(x,f(x))$，割线 $P_0P$ 的斜率是

$k=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

记 $\Delta x=x-x_0$，这就是平均变化率。当 $P$ 沿曲线无限趋近于 $P_0$ 时， 如果割线 $P_0P$ 无限趋近于一个确定位置的直线 $P_0T$，就把 $P_0T$ 叫做曲线在点 $P_0$ 处的切线， 而它的斜率

$k_0=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0).$

这就是导数的几何意义。

这个”切线”和初中圆的切线不是一回事

初中定义圆的切线是”与圆只有一个公共点的直线”。这里的定义是割线的极限位置，两者有实质差别：

• 曲线的切线可以与曲线有不止一个公共点（例如 $y=\sin x$ 在原点处的切线 $y=x$ 只碰一次， 但 $y=x^3$ 在原点处的切线 $y=0$ 会穿过曲线）；
• “只有一个公共点”也不足以成为切线（$y=x^2$ 与直线 $x=0$ 只有一个公共点，那是竖直线，不是切线）。

“过某点的切线”与”在某点处的切线”是两类题：后者点一定在曲线上、且它就是切点； 前者那个点可能不在曲线上，也可能在曲线上却不是切点——那时要设切点、列方程。 高考里”过一点能作几条切线”正是靠这个差别出题的。

三、以直代曲：切线是曲线的局部替身

把切点附近不断放大，曲线看起来越来越像一条直线，而那条直线就是切线。所以在 $P_0$ 附近可以用切线 近似代替曲线——这就是微积分里的”以直代曲”。

它有两个实用后果：

• 写完切线可以自己核：在切点旁边取一个近点，比较曲线的值与切线的值，两者应当很接近。 差得离谱就说明斜率算错了（这一招在本站的详解里用了好几次）；
• 导数的大小 = 曲线的陡峭程度，下一节读图全靠它。

四、用导数读图：这一节唯一的新本事

设 $f$ 在某点附近可导，则在该点附近：

比大小：$|f'(x_0)|$ 越大，曲线在该点附近升（降）得越快。 所以”比较曲线在 $t_1$、$t_2$ 附近下降的快慢”这类问题，比的是 $|f'(t_1)|$ 与 $|f'(t_2)|$， 在图上就是比两条切线的倾斜程度。

从图上估导数：画出该点处的切线，在切线上取两个格点算斜率，就是导数的近似值。 课本例 5（血管中药物浓度）用的正是这一招——它提醒我们，导数不一定要有解析式才能谈。

导函数

$f'(x_0)$ 对每个可导的 $x_0$ 都是一个确定的数，于是 $x\mapsto f'(x)$ 本身是一个函数， 叫 $f$ 的导函数（简称导数），也记作 $y'$：

$f'(x)=y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

$f'(x)$ 与 $f'(x_0)$ 差一个字，差别很大：前者是函数，后者是它在一点的值。 写”求 $f'(1)$“时，正确的次序是先求导函数，再代 $1$；反过来先把 $1$ 代进 $f$，得到的是常数， 导数恒为零。

五、求切线方程的三步（这一节起，一直用到本章结束）

1. 验点在不在曲线上（代横坐标，看纵坐标对不对得上）；
2. 算斜率 $k=f'(x_0)$；
3. 写点斜式 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$，再整理成一般式。

题目问”倾斜角”时，多一步：由 $k=\tan\alpha$ 且 $\alpha\in[0,\pi)$ 反求 $\alpha$。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 平均变化率与导数混为一谈。 一段一点，问哪个答哪个。
2. 约 $\Delta x$ 之前就令 $\Delta x=0$，得到 $\dfrac00$。
3. 先代点再求导。 必须先求导函数（或先把差商化简完），最后代点。
4. 实际意义不带单位、不说增减方向。
5. 把曲线的切线当成”只有一个公共点的直线”。
6. “过点 $P$“与”在点 $P$ 处”混用，没验点在不在曲线上就直接套 $k=f'(x_0)$。
7. 求出斜率就收工，题目要的是方程或倾斜角。
8. 看图比较快慢时比 $f'$ 而不比 $|f'|$。 两处都在下降时，$f'$ 更小（更负）的那处降得更快。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先做 2025 年第 12 题：由切线定参数。它是第五节那三步的正用与反用各一次， 是把”切点—斜率—方程”这条链练熟的最短路径；
• 再做 2024 年第 13 题：一条直线同时切两条曲线。这道题逼你把”在某点处的切线”写成 带参数的一族，再让两族重合——“设切点”这个动作从这里开始成为常规武器；
• 然后是 2022 年第 22 题：过一点作三条切线。它正是第二节末尾那条差别的完整演出—— “过某点”与”在某点处”不是一回事，前者要设切点，切点个数变成一个方程的根的个数；
• 2023 年第 4 题、2024 年第 6 题、2024 年第 10 题练的是导数的正负与单调性、 图象判断的对应，正好对上第四节那张表；
• 2023 年第 19 题、2024 年第 18 题、2025 年第 16 题、2025 年第 19 题里， 导数只是入口，主体是分类讨论与构造；
• 最后是 2023 年第 22 题，这一节的上限：在曲线 $y=x^2+\frac14$ 上做几何最值。 它提醒的是这一节最本质的一句话——导数把”曲线的局部形状”变成了可以计算的东西。

这一节的页里住着四批题：第 69 页「练习」2 道（§5.1.1 变化率问题那一小节的练习，按页排在这里）、 第 71 页「练习」4 道、第 74–75 页「练习」4 道，以及 §5.1 全节末尾的「习题 5.1」12 道。 本份详解做其中 16 道，不收的 6 道分两类，逐条写在这里：

• 题面依赖图象、数据只在扫描图里（题面引文引不全，独立复核也就无靶可核）—— 第 74 页「练习」第 1 题（“根据图 5.1-6 描述曲线在 $t_3$、$t_4$ 附近…”，两个时刻只标在图上）、 第 75 页「练习」第 2 题（选择题，函数图象在图上）、 习题 5.1 第 5 题（四个备选图象是四张图）、第 6 题（“如图，试描述…”）、 第 10 题（“已知函数 $f(x)$ 的图象，试画出其导函数图象”）；
• 要用信息技术工具作图估值、没有唯一解答——第 75 页「练习」第 4 题（吹气球）。

本站解答没有官方答案可比（人教A版学生用书不含答案），页面上那句声明说的就是这件事； 所以每道题都过了一次独立 verifier 的复核。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

本节还没有求导公式表，全部计算一律按导数的定义：

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

三步：算 $\Delta y$ → 约去 $\Delta x$ → 令 $\Delta x\to 0$。

练习（第 69 页）第 1 题

1. 你认为应该怎样定义抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $(x_0, x_0^2)$ 处的切线？试求抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $(-1, 1)$ 处切线的斜率.

先说定义。 初中”与圆只有一个公共点的直线”那条定义搬不过来：直线 $x=0$ 与抛物线 $y=x^2$ 也只有一个公共点，但它是竖直线，显然不该叫切线。可用的定义要靠割线的极限位置——

定义：在抛物线上另取一点 $P(x,x^2)$，作割线 $P_0P$（其中 $P_0(x_0,x_0^2)$）。当点 $P$ 沿抛物线 无限趋近于 $P_0$ 时，如果割线 $P_0P$ 无限趋近于一条确定位置的直线 $P_0T$， 就把 $P_0T$ 叫做抛物线在点 $P_0$ 处的切线。

按这个定义，切线的斜率就是割线斜率的极限，也就是 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。

再算斜率。 题给的点是 $(-1,1)$；先核它在抛物线上：$f(-1)=(-1)^2=1$ ✓，所以 $x_0=-1$。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x} =\frac{(-1+\Delta x)^2-1}{\Delta x} =\frac{1-2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} =\frac{-2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}.$$

因为 $\Delta x\neq 0$（它在分母上），可以约去：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-2+\Delta x.$

令 $\Delta x\to 0$：

$k=f'(-1)=\lim_{\Delta x\to 0}(-2+\Delta x)=-2.$

所以切线的斜率是 $-2$。

核一遍：抛物线 $y=x^2$ 在 $x=-1$ 处正在下降（顶点在 $x=0$，左侧递减），斜率应为负，相符。 再用一般公式核：对任意 $x_0$，同样的三步给出 $f'(x_0)=2x_0$，代 $x_0=-1$ 得 $-2$，一致。

练习（第 69 页）第 2 题

2. 求抛物线 $f(x)=x^{2}+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程.

第一步：验切点。 $f(0)=0^2+1=1$，与题给纵坐标相符，$(0,1)$ 在抛物线上，它就是切点。

第二步：按定义算斜率。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\frac{\left[(\Delta x)^2+1\right]-1}{\Delta x} =\frac{(\Delta x)^2}{\Delta x}=\Delta x \qquad (\Delta x\neq 0),$$

令 $\Delta x\to 0$：

$k=f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0.$

第三步：写方程。 斜率为 $0$，过点 $(0,1)$ 的直线是水平线：

$y-1=0\cdot(x-0) \;\Longrightarrow\; y=1.$

核一遍：$(0,1)$ 是抛物线 $y=x^2+1$ 的顶点，顶点处切线水平，与 $k=0$ 相符； 对任意 $x\neq 0$ 有 $x^2+1>1$，所以直线 $y=1$ 只在顶点与曲线相遇，位置也对。

练习（第 71 页）第 1 题

1. 在例 2 中，计算第 3 h 与第 5 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第 x h 时，原油的温度（单位：℃）为 $y=f(x)=x^{2}-7x+15$ ( $0 \leqslant x \leqslant 8$ )。计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

（第二个引用块是题面所指的例 2，逐字引自第 70 页。）

所求就是 $f'(3)$ 与 $f'(5)$，其中 $f(x)=x^2-7x+15$。$3$ 与 $5$ 都落在 $0\leqslant x\leqslant 8$ 内，可以算。

第 3 h。 $f(3)=9-21+15=3$，

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x} =\frac{(3+\Delta x)^2-7(3+\Delta x)+15-3}{\Delta x}.$$

分子展开：$9+6\Delta x+(\Delta x)^2-21-7\Delta x+15-3=-\Delta x+(\Delta x)^2$，于是

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1+\Delta x \qquad (\Delta x\neq 0),$

$f'(3)=\lim_{\Delta x\to 0}(-1+\Delta x)=-1.$

第 5 h。 $f(5)=25-35+15=5$，

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(5+\Delta x)^2-7(5+\Delta x)+15-5}{\Delta x}.$$

分子展开：$25+10\Delta x+(\Delta x)^2-35-7\Delta x+15-5=3\Delta x+(\Delta x)^2$，于是

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3+\Delta x,\qquad f'(5)=\lim_{\Delta x\to 0}(3+\Delta x)=3.$

意义（单位是”温度单位／时间单位”，即 $^\circ\mathrm{C/h}$）：

• $f'(3)=-1\ ^\circ\mathrm{C/h}$——在第 3 h 附近，原油温度大约以每小时 $1\ ^\circ\mathrm{C}$ 的速率下降；
• $f'(5)=3\ ^\circ\mathrm{C/h}$——在第 5 h 附近，原油温度大约以每小时 $3\ ^\circ\mathrm{C}$ 的速率上升。

核一遍：一般地同样的三步给出 $f'(x)=2x-7$，代 $x=3$ 得 $-1$、代 $x=5$ 得 $3$，与上面一致； $2x-7$ 在 $x<3.5$ 时为负、$x>3.5$ 时为正，说明温度先降后升，第 3 h 在降、第 5 h 在升，符合。

练习（第 71 页）第 2 题

2. 设 $f(x)=x$ ，求 $f'(1)$ .

按定义：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)-1}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \qquad (\Delta x\neq 0),$$

这个比值与 $\Delta x$ 无关，恒等于 $1$，所以

$f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}1=1.$

意义：$f(x)=x$ 的图象是直线 $y=x$，处处的切线就是它自己，斜率恒为 $1$。 所以不只是 $f'(1)=1$，对任意 $x_0$ 都有 $f'(x_0)=1$。

练习（第 71 页）第 3 题

3. 一质点 $A$ 沿直线运动, 位移 $y$ (单位: $\mathrm{m}$) 与时间 $t$ (单位: $\mathrm{s}$) 之间的关系为 $y(t) = 2t^2 + 1$, 求质点 $A$ 在 $t = 2.7 \mathrm{~s}$ 时的瞬时速度.

瞬时速度就是位移对时间的导数。先求一般的 $y'(t)$，再代 $t=2.7$（次序不能反）。

$$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\left[2(t+\Delta t)^2+1\right]-\left[2t^2+1\right]}{\Delta t} =\frac{4t\Delta t+2(\Delta t)^2}{\Delta t}=4t+2\Delta t \qquad (\Delta t\neq 0),$$

$y'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}(4t+2\Delta t)=4t.$

代 $t=2.7$：

$y'(2.7)=4\times 2.7=10.8 \ (\mathrm{m/s}).$

所以质点 $A$ 在 $t=2.7\ \mathrm{s}$ 时的瞬时速度是 $10.8\ \mathrm{m/s}$。

核一遍（用一小段的平均速度粗估）：从 $t=2.7$ 到 $t=2.8$， $\dfrac{y(2.8)-y(2.7)}{0.1}=\dfrac{(2\times 7.84+1)-(2\times 7.29+1)}{0.1}=\dfrac{1.1}{0.1}=11$； 从 $t=2.6$ 到 $t=2.7$ 同法得 $10.6$。瞬时速度 $10.8$ 正落在两者之间，相符。

练习（第 71 页）第 4 题

4. 设函数 $f(x) = x^2 - 1$. 求:

(1) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；

(2) 函数在 x=1 处的导数.

这两问并排出现正是为了区分一段上的平均变化率与一点处的导数。

(1) 这里 $\Delta x=1.1-1=0.1$，

$f(1.1)=1.1^2-1=1.21-1=0.21,\qquad f(1)=1^2-1=0,$

$\Delta y=0.21-0=0.21,$

所以平均变化率

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0.21}{0.1}=2.1.$

(2) 按定义：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left[(1+\Delta x)^2-1\right]-\left[1^2-1\right]}{\Delta x} =\frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2+\Delta x,$$

$f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}(2+\Delta x)=2.$

两问对照着看：把 $\Delta x=0.1$ 代进 (2) 的化简式 $2+\Delta x$，正好得到 (1) 的 $2.1$—— 平均变化率是导数在 $\Delta x$ 还没趋于零时的样子，$\Delta x$ 越小两者越接近。

练习（第 75 页）第 3 题

3. 求曲线 $y = -2x^{2} + 1$ 在点 $(1, -1)$ 处的切线方程.

第一步：验切点。 把 $x=1$ 代入：$-2\times 1+1=-1$，与题给纵坐标相符，$(1,-1)$ 在曲线上。

第二步：按定义算斜率。 记 $f(x)=-2x^2+1$，$f(1)=-1$，

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left[-2(1+\Delta x)^2+1\right]-(-1)}{\Delta x} =\frac{-2\left[1+2\Delta x+(\Delta x)^2\right]+2}{\Delta x} =\frac{-4\Delta x-2(\Delta x)^2}{\Delta x},$$

约去 $\Delta x$（$\Delta x\neq 0$）：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4-2\Delta x,\qquad k=f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}(-4-2\Delta x)=-4.$

第三步：写点斜式。

$y-(-1)=-4(x-1) \;\Longrightarrow\; y=-4x+3,$

即

$4x+y-3=0.$

核一遍：$(1,-1)$ 代入得 $4-1-3=0$ ✓。曲线开口向下、顶点在 $x=0$， 在 $x=1$ 处正在下降，与 $k=-4<0$ 相符。再用”以直代曲”粗核：$x=1.1$ 时曲线值 $-2\times 1.21+1=-1.42$，切线值 $-4\times 1.1+3=-1.4$，两者只差 $0.02$。

习题 5.1 第 1 题

1. 一个物体从 $10\mathrm{m}$ 高处做自由落体运动，$t$ s 时该物体距离地面的高度（单位：$\mathrm{m}$）为 $h(t) = -4.9t^2 + 10$。求该物体在 $t = 1$ 时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况。

瞬时速度就是高度对时间的导数。$h(1)=-4.9+10=5.1$，

$$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{\left[-4.9(1+\Delta t)^2+10\right]-5.1}{\Delta t} =\frac{-4.9\left[1+2\Delta t+(\Delta t)^2\right]+4.9}{\Delta t} =\frac{-9.8\Delta t-4.9(\Delta t)^2}{\Delta t},$$

约去 $\Delta t$：

$\frac{\Delta h}{\Delta t}=-9.8-4.9\Delta t,\qquad h'(1)=\lim_{\Delta t\to 0}\left(-9.8-4.9\Delta t\right)=-9.8.$

所以 $t=1\ \mathrm{s}$ 时的瞬时速度是 $-9.8\ \mathrm{m/s}$。

运动状况：$h$ 量的是距离地面的高度，导数为负说明高度在减小，即物体正在下落， 此刻的速率是 $9.8\ \mathrm{m/s}$。一般地同样的三步给出 $h'(t)=-9.8t$， 它的绝对值随 $t$ 增大，说明下落越来越快——这正是自由落体（加速度大小 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$）。

核一遍：$h(1)=5.1\ \mathrm{m}>0$，物体在 $t=1$ 时还没落地（落地时刻由 $-4.9t^2+10=0$ 得 $t=\sqrt{10/4.9}\approx 1.43\ \mathrm{s}$），所以 $t=1$ 处于运动过程中，上面的计算有意义。

习题 5.1 第 2 题

2. 圆的面积 $S$ （单位：$\mathrm{cm}^2$）与半径 $R$ （单位：$\mathrm{cm}$）的关系为 $S = \pi R^2$。求 $R = 5 \mathrm{~cm}$ 时面积关于半径的瞬时变化率。

所求是 $S'(5)$。$S(5)=25\pi$，

$$\frac{\Delta S}{\Delta R}=\frac{\pi(5+\Delta R)^2-25\pi}{\Delta R} =\frac{\pi\left[25+10\Delta R+(\Delta R)^2\right]-25\pi}{\Delta R} =\frac{10\pi\Delta R+\pi(\Delta R)^2}{\Delta R},$$

约去 $\Delta R$：

$\frac{\Delta S}{\Delta R}=10\pi+\pi\Delta R,\qquad S'(5)=\lim_{\Delta R\to 0}\left(10\pi+\pi\Delta R\right)=10\pi.$

所以 $R=5\ \mathrm{cm}$ 时面积关于半径的瞬时变化率是

$10\pi\ \mathrm{cm^2/cm}\approx 31.42\ \mathrm{cm^2/cm}.$

意义与自检：这个数的含义是”半径在 $5\ \mathrm{cm}$ 附近每增加 $1\ \mathrm{cm}$，面积大约增加 $10\pi\ \mathrm{cm^2}$”。 一般地 $S'(R)=2\pi R$——恰好是该圆的周长，这不是巧合：半径增加一点点， 新增的面积就是沿圆周铺开的一圈细环。 粗核：$S(5.01)-S(5)=\pi(25.1001-25)=0.1001\pi$，除以 $0.01$ 得 $10.01\pi$，与 $10\pi$ 相符。

习题 5.1 第 3 题

3. 某质点沿直线运动，位移 $y$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = 5t^2 + 6$。求：(1) $2 \leqslant t \leqslant 3$ 这段时间内的平均速度；(2) $t = 2 \mathrm{s}$ 时的瞬时速度。

(1) 平均速度是这一段上的平均变化率。$y(2)=5\times 4+6=26$，$y(3)=5\times 9+6=51$，

$\bar v=\frac{y(3)-y(2)}{3-2}=\frac{51-26}{1}=25 \ (\mathrm{m/s}).$

(2) 瞬时速度是 $t=2$ 处的导数：

$$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\left[5(2+\Delta t)^2+6\right]-26}{\Delta t} =\frac{5\left[4+4\Delta t+(\Delta t)^2\right]+6-26}{\Delta t} =\frac{20\Delta t+5(\Delta t)^2}{\Delta t},$$

约去 $\Delta t$：

$\frac{\Delta y}{\Delta t}=20+5\Delta t,\qquad y'(2)=\lim_{\Delta t\to 0}(20+5\Delta t)=20 \ (\mathrm{m/s}).$

两问对照：把 $\Delta t=1$ 代进化简式 $20+5\Delta t$ 得 $25$，正是 (1) 的答案—— 平均速度是瞬时速度在 $\Delta t$ 还没趋于零时的样子。又 $y'(t)=10t$ 随 $t$ 增大， 所以 $[2,3]$ 上的平均速度（$25$）比起点的瞬时速度（$20$）大，合理。

习题 5.1 第 4 题

4. 已知车轮旋转的角度 $\theta$ （单位：rad）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $\theta(t) = \frac{25\pi}{8} t^2$。求车轮转动开始后第 $3.2\mathrm{s}$ 时的瞬时角速度。

瞬时角速度就是角度对时间的导数。先求一般的 $\theta'(t)$：

$$\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\frac{25\pi}{8}\left[(t+\Delta t)^2-t^2\right]}{\Delta t} =\frac{\frac{25\pi}{8}\left[2t\Delta t+(\Delta t)^2\right]}{\Delta t} =\frac{25\pi}{8}\left(2t+\Delta t\right),$$

令 $\Delta t\to 0$：

$\theta'(t)=\frac{25\pi}{8}\cdot 2t=\frac{25\pi}{4}t.$

代 $t=3.2$：

$\theta'(3.2)=\frac{25\pi}{4}\times 3.2=25\pi\times 0.8=20\pi \ (\mathrm{rad/s})\approx 62.83\ \mathrm{rad/s}.$

核一遍：$\dfrac{25\pi}{4}\times 3.2=\dfrac{25\times 3.2}{4}\pi=\dfrac{80}{4}\pi=20\pi$ ✓。 换算一下：$20\pi\ \mathrm{rad/s}$ 约合每秒 $10$ 转，量级上是一个正在快速旋转的车轮。

习题 5.1 第 7 题

7. 求曲线 $y = \frac{1}{2} x^2 - 2$ 在点 $\left(1, -\frac{3}{2}\right)$ 处的切线的倾斜角.

第一步：验点。 $\dfrac12\times 1^2-2=\dfrac12-2=-\dfrac32$，与题给纵坐标相符，点在曲线上。

第二步：算斜率。 记 $f(x)=\dfrac12x^2-2$，$f(1)=-\dfrac32$，

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac12(1+\Delta x)^2-2+\frac32}{\Delta x} =\frac{\frac12\left[1+2\Delta x+(\Delta x)^2\right]-\frac12}{\Delta x} =\frac{\Delta x+\frac12(\Delta x)^2}{\Delta x},$$

约去 $\Delta x$：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=1+\frac12\Delta x,\qquad k=f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(1+\frac12\Delta x\right)=1.$

第三步：由斜率求倾斜角。 设倾斜角为 $\alpha$，则 $\tan\alpha=k=1$，且按定义 $\alpha\in[0,\pi)$， 在这个范围内 $\tan\alpha=1$ 只有一个解：

$\alpha=\frac{\pi}{4} \quad (\text{即}\ 45^\circ).$

核一遍：$k=1>0$，切线上升，倾斜角应落在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内，$\dfrac{\pi}{4}$ 符合； $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ ✓。

习题 5.1 第 8 题

8. 一个质量为 $m = 3 \mathrm{~kg}$ 的物体做直线运动，设位移 $y$ （单位： $\mathrm{m}$ )与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = 1 + t^2$ ，并且物体的动能 $E_{k} = \frac{1}{2} mv^{2}$ 求物体开始运动后第 $5 \mathrm{~s}$ 时的动能.

第一步：由位移求速度。 速度是位移对时间的导数：

$$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\left[1+(t+\Delta t)^2\right]-\left[1+t^2\right]}{\Delta t} =\frac{2t\Delta t+(\Delta t)^2}{\Delta t}=2t+\Delta t,$$

$v(t)=y'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}(2t+\Delta t)=2t \ (\mathrm{m/s}).$

第二步：代 $t=5$。

$v(5)=2\times 5=10 \ (\mathrm{m/s}).$

第三步：代动能公式。 $m=3\ \mathrm{kg}$，

$E_k=\frac12mv^2=\frac12\times 3\times 10^2=\frac12\times 3\times 100=150 \ (\mathrm{J}).$

所以第 $5\ \mathrm{s}$ 时物体的动能是 $150\ \mathrm{J}$。

单位核一遍：$\mathrm{kg}\cdot(\mathrm{m/s})^2=\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}=\mathrm{J}$，量纲对得上。 这道题的关键动作：动能公式里的 $v$ 是瞬时速度，要先求导再代—— 直接把 $y(5)=26$ 当成速度代进去是最常见的错法。

习题 5.1 第 9 题

9. 根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状.

(1) 汽车在笔直的公路上匀速行驶；

(2) 汽车在笔直的公路上不断加速行驶；

(3) 汽车在笔直的公路上不断减速行驶.

路程关于时间的函数记作 $s(t)$，则速度就是它的导数 $s'(t)$。三小问都是同一个动作： 把文字里的速度信息翻译成 $s'(t)$ 的性质，再翻译成图象的形状。 三种情形里汽车都在前进，所以 $s'(t)>0$，图象都是上升的；差别全在”陡峭程度怎么变”。

(1) 匀速。 $s'(t)$ 是正的常数，即图象上每一点处切线的斜率都相同。 斜率处处相同的图象是一条直线——从出发点起、向右上方、倾斜程度始终不变。

(2) 不断加速。 $s'(t)>0$ 且随 $t$ 增大，即切线越来越陡。 图象是一条上升的曲线，而且越来越陡（形如 $s=t^2$ 在 $t>0$ 的那一段），向上弯曲。

(3) 不断减速。 $s'(t)>0$ 但随 $t$ 减小，即切线越来越平。 图象是一条上升的曲线，而且越来越平缓（形如 $s=\sqrt{t}$ 那样），向下弯曲。

三条放在一起看：三条曲线都从左下往右上走，区别只在弯的方向——(1) 不弯，(2) 向上弯， (3) 向下弯。判断依据只有一条：斜率（= 速度）是不变、变大还是变小。

核一遍：减速行驶时路程仍在增加（车没有倒退），所以 (3) 的图象不该下降—— “减速”减的是斜率，不是函数值。这是本题最容易画错的地方。

习题 5.1 第 11 题

11. 在一次跳水运动中，t s 时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 $h(t) = -4.9t^{2} + 4.8t + 11$ 。高度 h 关于时间 t 的导数是速度 v，速度 v 关于时间 t 的导数 $v'$ 的物理意义是什么？试求 v， $v'$ 关于时间 t 的函数解析式。

先求 $v(t)=h'(t)$。

$$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{\left[-4.9(t+\Delta t)^2+4.8(t+\Delta t)+11\right]-\left[-4.9t^2+4.8t+11\right]}{\Delta t}.$$

分子展开：$-4.9\left[2t\Delta t+(\Delta t)^2\right]+4.8\Delta t=-9.8t\Delta t-4.9(\Delta t)^2+4.8\Delta t$，于是

$\frac{\Delta h}{\Delta t}=-9.8t-4.9\Delta t+4.8 \qquad (\Delta t\neq 0),$

$v(t)=h'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\left(-9.8t-4.9\Delta t+4.8\right)=-9.8t+4.8 \ (\mathrm{m/s}).$

再求 $v'(t)$。

$$\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\left[-9.8(t+\Delta t)+4.8\right]-\left[-9.8t+4.8\right]}{\Delta t} =\frac{-9.8\Delta t}{\Delta t}=-9.8,$$

这个比值与 $\Delta t$ 无关，所以

$v'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}(-9.8)=-9.8 \ (\mathrm{m/s^2}).$

$v'$ 的物理意义：$v'$ 是速度关于时间的瞬时变化率，也就是加速度。 这里它是常数 $-9.8\ \mathrm{m/s^2}$，负号表示方向与”高度增加”的方向相反（即竖直向下）， 大小 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 正是重力加速度——运动员离开跳板后只受重力，做匀变速运动。

核一遍：$v(0)=4.8\ \mathrm{m/s}>0$，起跳瞬间重心在上升，符合跳水动作； 由 $v(t)=0$ 得 $t=\dfrac{4.8}{9.8}\approx 0.49\ \mathrm{s}$，此时到达最高点，之后 $v<0$ 开始下落， 整个过程与 $h(t)$ 是开口向下的抛物线相符。

习题 5.1 第 12 题

12. 根据下列条件，分别画出函数 $y=f(x)$ 的图象在这点附近的大致形状： (1) $f(1)=-5,\quad f'(1)=-1;$ (2) $f(5)=10,\quad f'(5)=15;$ (3) $f(10)=20,\quad f'(10)=0.$

每一小问给的都是同一对信息：函数值定”图象经过哪个点”，导数值定”图象在该点附近的倾斜程度”。 按”以直代曲”，在这一点附近曲线与它的切线几乎重合，所以只要把切线画出来， 再把曲线画成在该点与切线相切的一小段即可。切线方程一律由点斜式给出：

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$

(1) $f(1)=-5$，$f'(1)=-1$。 图象过点 $(1,-5)$；该点处切线是

$y+5=-1\cdot(x-1),\qquad\text{即}\qquad y=-x-4.$

斜率 $-1<0$，倾斜角 $\dfrac{3\pi}{4}$（$135^\circ$）。所以在 $(1,-5)$ 附近， 图象是一小段下降的曲线，倾斜程度与 $-45^\circ$ 的直线相当（不陡不缓）。

(2) $f(5)=10$，$f'(5)=15$。 图象过点 $(5,10)$；该点处切线是

$y-10=15(x-5),\qquad\text{即}\qquad y=15x-65.$

斜率 $15>0$ 且很大，所以在 $(5,10)$ 附近，图象是一小段急剧上升的曲线，几乎接近竖直方向。

(3) $f(10)=20$，$f'(10)=0$。 图象过点 $(10,20)$；该点处切线是

$y-20=0\cdot(x-10),\qquad\text{即}\qquad y=20,$

是一条水平直线。所以在 $(10,20)$ 附近，图象几乎是平的、看不出明显升降。

三小问对照着看：三段曲线的位置由 $f(x_0)$ 决定，姿态由 $f'(x_0)$ 决定—— 负号向下、正号向上、零则水平；绝对值越大越陡。 注意题目只给了一点处的信息，所以只能说”该点附近”的形状， 不能断言整条曲线是增是减、是凹是凸——那需要导数在一个区间上的信息。