浙江 2025 · 数学 q12

冷启动：两件工具

假设你刚学导数。

第一件：导数的几何意义。 $f'(x_0)$ 就是曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。求切线、由切线定参数，都从这里出发。

第二件：常见函数的导数。 $(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x$，$(x)'=1$，常数求导为 $0$。所以

$$y=\mathrm e^{x}+x+a\ \Longrightarrow\ y'=\mathrm e^{x}+1$$

注意 $a$ 求导之后没了——它只是把整条曲线上下平移。这句话待会儿两条路都要用到。

题目在说什么。 「$y=2x+5$ 是切线」这一句其实给了两条信息：斜率是 $2$，而且它与曲线恰好碰一下。下面两条路，分别抓住其中一条信息当主线。

解法一：切点三方程

怎么想到的。 既然「相切」是发生在某一个点上的事，那就把那个点请出来：设切点横坐标为 $x_0$。切点是个很有信息量的对象——它同时满足三件事，而三件事足够把 $x_0$ 和 $a$ 一起定死。这就是切点三方程。

三条件是哪三条：

1. 斜率对上：$f'(x_0)=2$；
2. 切点在曲线上：$y_0=\mathrm e^{x_0}+x_0+a$；
3. 切点在切线上：$y_0=2x_0+5$。

按顺序解。 第 1 条只含 $x_0$，先解它：

$$\mathrm e^{x_0}+1=2\ \Longrightarrow\ \mathrm e^{x_0}=1\ \Longrightarrow\ x_0=0$$

有了 $x_0=0$，第 3 条给出切点的纵坐标 $y_0=2\cdot 0+5=5$，即切点是 $(0,5)$。代进第 2 条：

$$5=\mathrm e^{0}+0+a=1+a\ \Longrightarrow\ \boxed{a=4}$$

为什么三条缺一不可。 只用第 1 条解不出 $a$——$a$ 求导就没了，斜率条件对 $a$ 一无所知。必须再用「切点同时落在曲线和切线上」把 $a$ 逼出来。

解法二：差函数最小值为零

怎么想到的。 换一个角度看「相切」：曲线与直线相切，意思是它们碰得到、但穿不过去。把两者相减，令

$$g(x)=(\mathrm e^{x}+x+a)-(2x+5)=\mathrm e^{x}-x+a-5$$

那么「碰得到」就是 $g$ 有零点，「穿不过去」就是它不变号。两件事合起来就一句话：

$g$ 的最小值恰好等于 $0$。

这条路根本不用先把切点找出来——切点会自己在最低点那里冒出来。

求最小值。 $g'(x)=\mathrm e^{x}-1$，令它为零得驻点 $x=0$。而

$$g'(x)<0\ (x<0),\qquad g'(x)>0\ (x>0)$$

所以 $g$ 在 $x=0$ 处取到唯一的极小值，也就是全局最小值（这里不必背什么判别法，看导数的正负号变化就够了）：

$$g_{\min}=g(0)=\mathrm e^{0}-0+a-5=a-4$$

令它为零。

$$a-4=0\ \Longrightarrow\ \boxed{a=4}$$

顺带一提：驻点 $x=0$ 正是解法一里那个切点的横坐标——两条路在这里握了个手。

这两条路差在哪。 解法一是局部的：盯住一个点，用三条件把它钉死。解法二是整体的：把相切翻译成「差函数不变号」，一次看完整条曲线。题目问「切点在哪」时解法一更顺；题目问「$a$ 取什么范围时有交点 / 有几个交点」时，解法二那套框架直接能改（把「$=0$」换成「$<0$」「$>0$」），而解法一改不动。

🕳️ 避坑

• 只用斜率一个条件无法定 $a$：$a$ 是竖直平移量，求导之后就消失了。
• 切点横坐标是 $0$，别把它和纵坐标 $5$ 混用。
• 解法二里 $g_{\min}=0$ 是「相切」的等价翻译，别写成 $g(x)\ge 0$ 就完事——那只说明不穿过去，没说碰得到。